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Alex27

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Convergence de suites

Bonjour, je bloque sur la deuxième partie d'un exercice qui est le suivant :
1) Montrer que la suite (un) définie pour tout n par : un= somme de k=1 à n de 1/(k(k+1)) est convergente. Calculer sa limite.

Avec un télescopage on montre que cette suite tend vers 1.

2) En utilisant le critère de Cauchy et la première question, montrer que la suite (vn) définie par vn= somme de k=1 à n de sin(ka)/(k(k+1)) (avec a un réel) est convergente.

Je bloque sur cette dernière question, je n'arrive pas à utiliser le critère de Cauchy pour avancer, j'ai également cherché des relations trigonométriques pour m'en sortir mais sans succès, pourriez-vous me guider un peu s'il vous plaît ?

Cordialement, Alex.

Glozi

Invité

Re : Convergence de suites

Bonsoir,
Pas besoin de relations trigonométriques compliquées, il suffit de savoir que $\forall x\in \mathbb{R}, |\sin(x)|\leq 1$ et bien utiliser la question 1.
Bonne soirée

Alex27

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Re : Convergence de suites

Bonjour, merci pour votre aide, j'ai essayé d'utiliser l'inégalité |un-1|<epsilon ainsi que |sinx|<1 pour reformer vn mais sans succès, et je ne vois toujours pas où se cache le critère de Cauchy dans la résolution de l'exercice, pourriez-vous m'aiguiller de nouveau ?
Merci, Alex.

Glozi

Invité

Re : Convergence de suites

Bonjour,
Qu'est ce que le critere de Cauchy pour $v$ ? Qu'en est-il de critere pour $u$, (l'énoncer clairement et dire déjà pourquoi $u$ satisfait ce critère).
Bonne journée

Zebulor

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Re : Convergence de suites

Bonjour,
@Alex27 : au début de ce lien le critère en question :
https://www.bibmath.net/dico/index.php? … suite.html

Ensuite on peut majorer la valeur absolue d'une différence...

Bonne journée

Dernière modification par Zebulor (09-09-2023 11:11:08)

Gui82

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Re : Convergence de suites

Bonjour,

Ici, la différence s'exprime sous forme d'une somme, donc il faut utiliser l'inégalité triangulaire combinée au résultat de la question 1.

Alex27

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Re : Convergence de suites

Mais oui bien sûr l'inégalité triangulaire ! J'avais déjà réussi un exercice du même type mais ça m'était complètement sorti de la tête ici ! Merci pour votre aide !

Zebulor

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Re : Convergence de suites

Re,
sous la forme d'une somme en effet, j'avais mal regardé l'expression de la suite $(v_n)$...

Dernière modification par Zebulor (09-09-2023 16:11:35)