Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Lily29

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Intégrales

Bonjour,

J'aurais besoin d'une indication pour une question d'un exercice pour laquelle je ne sais pas vers où aller...

Voilà l'énoncé du problème :

Dans tout le problème, ε désigne un nombre réel tel que 0< ε < 1. Nous notons la limite à droite d'une fonction f en un point a par
lim f(x) quand x → a et x>a. Les notations alternatives usuelles lim f(x) quand x → a et lim f(x) quand x → a+ sont tolérées.

Dans la première question j'ai calculé l'intégrale de 1/x allant de ε à 1, j'ai donc trouvé -ln(ε). A la deuxième question, j'ai calculé la limite de I(ε) quand ε --> 0 et ε > 0, j'ai trouvé +oo.

Et dans la troisième question, je dois justifier que : l'intégrale de 1/x allant de -1 à -ε est égale à moins l'intégrale de 1/x allant de ε à 1.

Sauf que je ne vois pas du tout comment faire, pourriez-vous m'aider ?

Merci d'avance.

jeanémile

Invité

Re : Intégrales

Une primitive de 1/x est ln(|x|)
On peut donc calculer l'intégrale lorsque les bornes sont < 0

Black Jack

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Re : Intégrales

Bonjour,

Les primitives de f(x) = 1/x sont de la forme F(x) = ln|x| + C (avec C constante)
Note la présence des valeurs absolues ...

Comme x = 0 est interdit (le domaine d'existence est non connexe), si on veut toutes les primitives, on a ceci :

F(x) = ln|x| + C1 pour x < 0
F(x) = ln|x| + C2 pour x > 0
Avec C1 et C2 des constantes qui peuvent être différentes.

Si on reste avec des x < 0 uniquement, alors  F(x) = ln|x| + C1 peut aussi s'écrire : F(x) = ln(-x) + C1

On peut d'ailleurs vérifier qu'on a bien  F'(x) = -(1/-x) = 1/x = f(x)  (avec x < 0)
''''''''''''''''

Donc , avec [tex]0 < \epsilon < 1[/tex], on a [tex]- \epsilon < 0  et   on a :

[tex]\int_{-1}^{-\epsilon} \frac{1}{x} dx = [ln|x|]_{-1}^{-\epsilon} = ln|-\epsilon| - ln|-1| = ln(\epsilon) - ln(1) = ln(\epsilon)[/tex]

qui est bien égale à " à moins l'intégrale de 1/x allant de ε à 1."

Gui82

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Re : Intégrales

Bonjour,

Tu peux aussi faire le changement de variables [tex]y=-x[/tex]