Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Lily29

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Limite d'une suite

Bonjour,

J'ai l'exercice suivant :

On considère la fonction fn de R dans R définie par fn(x) = x^n + x^(n-1) + x^2 + x - 1.

Dans la première question j'ai montré que pour tout n supérieur ou égal à 2, il existe une unique racine réelle positive de fn que l'on appelle λn. Ensuite, dans la deuxième question, j'ai montré que λn était compris entre 0 et 3/4. Enfin, dans la dernière question j'ai montré que (λn) était une suite croissante et qu'elle converge vers une limite l. Maintenant je dois calculer la valeur de l mais je suis bloquée.

J'ai fait cela :

fn(λn) = (λn)^n + (λn)^(n-1) + (λn)^2 + λn -1 = 0

Donc : l^n + l^(n-1) + l^2 + l = 1

Mais ensuite, je suis bloquée et je ne vois pas comment résoudre cette équation, pourriez-vous m'aider ?

Merci d'avance.

Black Jack

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Re : Limite d'une suite

Bonjour,

On sait que 0 < I < 3/4

Et donc lim(n--> +oo) I^n = ...
et aussi :  lim(n--> +oo) I^(n-1) = ...

Il reste alors une équation du second degré en I dont il faut choisir la solution positive.

Gui82

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Re : Limite d'une suite

Bonjour,

On ne peut pas conclure [tex]l^n+l^{n-1}+l^2+l-1=0[/tex] car on fait tendre [tex]n[/tex] vers [tex]+\infty[/tex] alors que [tex]n[/tex] reste en exposant. Mais on peut montrer que [tex]\displaystyle \lambda_n^n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}0[/tex] et [tex]\displaystyle \lambda_n^{n-1}\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}0[/tex] grâce à l'encadrement qu'on a sur [tex]\lambda_n,\,\forall n \ge 2[/tex]

Lily29

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Re : Limite d'une suite

Bonjour,

D'accord je comprends ce qu'il faut faire, merci pour votre réponse ! :)