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Aboumadi

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Racine n-ième//

Bonjour, je veux savoir si la racine niéme d'un nombre est toujours positif ??
Une autre question : est -ce que la fonction racine-niéme est toujours à valeurs dans R+ ?

Black Jack

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Re : Racine n-ième//

Bonjour,

[tex]\sqrt[3]{-8} = -2[/tex]

Cela répond-t-il à tes questions ?

Aboumadi

Invité

Re : Racine n-ième//

Bonjour,
Dans. Mon cours ,j'ai que la fonction racine-niéme va de R+ vers R+ , rien d'autres choses !
Donc est-ce que tu peux m'expliquer ce cas de négatif !

Black Jack

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Re : Racine n-ième//

Bonjour,

Voir sur ce lien :  https://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_d%27un_nombre

Extraits : 

"En mathématiques, une racine n-ième d'un nombre a est un nombre b tel que b^n = a, où n est un entier naturel non nul. "

Et il y a l'exemple :

[tex]\sqrt[3]{-8} = -2[/tex]
avec l'explication : En effet − 2 est le seul nombre réel dont la puissance troisième est égale à − 8.

Dans cet exemple, on a : a= -8, b = -2 et n = 3 (on a bien (-2)³ = -2 * -2 * -2 = -8)

Gui82

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Re : Racine n-ième//

Bonjour,

On dit que la fonction racine nième va de [tex]\mathbb{R}^+[/tex] dans [tex]\mathbb{R}^+[/tex] car elle y est toujours définie, quel que soit n entier naturel non nul. On peut l'étendre à [tex]\mathbb{R}[/tex] tout entier quand n est impair (voir exemple ci-dessus), mais ce n'est pas possible pour n pair.

Aboumadi

Invité

Re : Racine n-ième//

Bonjour GUI82 , pourquoi pas on ne peut pas etendre la fonction racine-niéme de R dans R pour n paire ,
La définition d'une fonction dit qu'une fonction est toujours un procédé qui à chaque élément de l'ensemble de départ associe un seul et un seul élément dans l'ensemble d'arrivé.

Black Jack

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Re : Racine n-ième//

Bonjour GUI82 , pourquoi pas on ne peut pas etendre la fonction racine-niéme de R dans R pour n paire ,
La définition d'une fonction dit qu'une fonction est toujours un procédé qui à chaque élément de l'ensemble de départ associe un seul et un seul élément dans l'ensemble d'arrivé.

Bonjour,

Parce que un réel élevé à une puissance paire est toujours positif.

exemples :

(-3)² = +9 et (+3)² = +9

(-2)^4 = +16 et (+2)^4 = +16

Donc les racines-nièmes pour n pair sont de R+ dans R+

Exemples :

[tex]\sqrt{-4}[/tex] n'existe pas car il n'existe aucun réel a tel que a² = -4

[tex]\sqrt[4]{-16}[/tex] n'existe pas car il n'existe aucun réel a tel que a^4 = -16

Dernière modification par Black Jack (26-07-2023 18:43:04)

Aboumadi

Invité

Re : Racine n-ième//

Bonjour Gui82 , Bonjour Black Jack , est ce que cette fonction qui va de R (non de R+) a des propriétés ? Est ce que tu peux m'aider par me donner les propriétés de cette fonction ?

Merci beaucoup.

Gui82

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Re : Racine n-ième//

Bonjour,

Je suppose que tu parles ici du cas n impair. On a alors les propriétés classiques comme [tex]x \mapsto \sqrt[n]{x}[/tex] est croissante sur [tex]\mathbb{R}[/tex] et [tex]\displaystyle (\sqrt[n]{x})^n=x, \, \forall x \in \mathbb{R}[/tex].
Mais on a les mêmes propriétés sur [tex]\mathbb{R}^+[/tex] quelle que soit la parité de n...