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#1 04-12-2022 00:30:06
- Boiboi
- Invité
Trigo blocage
Bonjour j'ai une démonstration en Trigo et je suis complètement bloquée
Si a, b et c sont les angles d'un triangles alors
sin a+sin b+sinc = 4 cos a/2.cos b/2.cos c/2
merci
#2 04-12-2022 11:46:58
- Zebulor
- Membre expert
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- Messages : 2 220
Re : Trigo blocage
Bonjour,
je ne sais pas si tu sais écrire un cosinus ou sinus en t'inspirant de la formule d'Euler.. ce qui invite à écrire sous une autre forme le membre de droite dans ton égalité. A un moment la propriété $a+b+c=\pi$ intervient dans les calculs.
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#3 04-12-2022 15:02:23
- Bernard-maths
- Membre Expert
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- Messages : 1 862
Re : Trigo blocage
Bonjour à tous !
Après avoir cherché la formule de gauche à droite, je cherchais de droite à gauche ... et là les formules d'Euler simplifient la vie, mais les calculs sont à bien surveiller ! On peut alors remonter la démonstration de droite à gauche, si on veut ... Merci Zebulor.
J'indique le début des calculs pour orienter Boiboi s'il n'a pas encore démarré :
on a : cos(x) = (eix+e-ix)/2, donc 2 cos x = (eix+e-ix). On en déduit que : 2 cos(a/2) = (eia/2+e-ia/2) ... de même pour b et c ...
Je calcule : 8*cos(a/2) * cos(b/2) * cos(c/2) = 2 cos(a/2) * 2 cos(b/2) * 2 cos(c/2) = (eia/2+e-ia/2)(...)(...) ... avec b et c.
On développe et on obtient une expression de 8 termes, qu'on peut regrouper 2 par 2 ...
En tenant compte que a+b+c=Pi=180°, on aura par exemple le terme (a+b-c)/2 = ((180°-c) - c)/2 = ... = 90°-c. Et on sait aussi que cos(90°-c) = sin c ...
Voilà, les grandes lignes sont dites, à toi Boiboi de finaliser cette démonstration.
Cordialement, Bernard-maths
Dernière modification par Bernard-maths (04-12-2022 16:15:10)
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#5 04-12-2022 18:40:50
- Bernard-maths
- Membre Expert
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Re : Trigo blocage
Salut Pidelta !
Y-a-t-il des réponses proposées ? Toujours intéressant de connaître ces réponses ... Merci.
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#6 04-12-2022 18:49:03
- Pidelta
- Membre
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- Messages : 96
Re : Trigo blocage
@Bernard-maths
Je ne l'ai pas encore écrite mais je comptais procéder ainsi:
on ajoute les 2 premiers sinus;
ensuite, je remplace C en tenant compte de la somme des angles d'un triangle et je passe par les angles moitiés
on peut ensuite factoriser et c'est presque terminé
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#7 04-12-2022 18:56:36
- Bernard-maths
- Membre Expert
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Re : Trigo blocage
@ Pidelta,
c'est ce que j'avais commencé à faire ... mais j'aichangé de stratégie.
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#9 05-12-2022 12:06:57
- Bernard-maths
- Membre Expert
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- Messages : 1 862
Re : Trigo blocage
@ Pidelta !
Menteur ! ça prend plus de 4 lignes ... (:-))
La nuit portant conseil, je me suis souvenu que sin c = 2 sin(c/2) cos(c/2), après c'est assez facile.
Bern-Art-Maths
PS : où en est Boiboi ???
Dernière modification par Bernard-maths (05-12-2022 12:07:52)
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