Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Robain

Invité

Congruence

Bonjour à tous,
J'ai une question à propos de l'anneau (Z/nZ,+,x)

Je veux cherché les diviseurs de zero de cet anneau mais je sais pas trop comment m'y prendre.

Par exemple, pour l'anneau Z/26Z muni des même lois d'avant.
J'ai essayé de dire que a sera un diviseur de zéro si a*b modulo 26 est égal à zero.
cependant si je fait avec 3, j'ai bien 3*0 ñodulo 26 est égal à zero, or je sais que 3 n'est pas un diviseur de zero dans cet anneau.
Donc je sais pas trop comment m'y prendre.
Je vous remercie d'avance!!

Glozi

Invité

Re : Congruence

Bonjour,

Dans un anneau (commutatif pour faire simple) $(A,+,\times)$, on dit qu'un élément $a\in A$ est un diviseur de $0$ s'il existe $b\in A$ $\textbf{non nul}$ tel que $a\times b = 0$. C'est pourquoi ton exemple avec $3\times 0$ ne permet pas de conclure.

Si tu veux savoir si la classe d'un entier $m$ est un diviseur de $0$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ alors je te conseille de regarder si $n$ et $m$ sont premiers entre eux ou non et d'utiliser Bézout au maximum !

▼une solution

Si $n\geq 2$, considérons l'anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. On sait qu'on peut représenter les éléments de cet anneau comme la classe d'un entier $m\in \{0,\dots, n-1\}$ (c'est la division euclidienne). De plus, ces $n$ classes sont distinctes. Prenons donc $0\leq m \leq n-1$. On se demande si la classe de $m$ est un diviseur de $0$.

Premier cas : $n$ et $m$ sont premiers entre eux. Alors par Bézout, on a $u,v\in \mathbb{Z}$ tels que $um+vn =1$. En prenant cet égalité modulo $n$ on voit que la classe de $m$ est inversible (d'inverse la classe de $u$). Je te laisse montrer que dans un anneau, un élément inversible n'est pas un diviseur de $0$. Ainsi la classe de $m$ ne sera pas un diviseur de $0$.

Deuxième cas : $n$ et $m$ ne sont pas premiers entre eux (supposons $m\neq 0$ pour faire simple). Prenons $d$ le pgcd de ces deux entiers. Par Bézout, on a encore $u,v$ tels que $um+vn=d$. Puisque $d$ divise $n$ écrivons $n=dk$. Alors $kum$ est divisible par $n$. Et d'autre part, $n$ ne divise pas $ku$ (tu vois pourquoi ?) Finalement $m \times (ku)=0$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ avec $ku$ non trivial, $m$ est donc un diviseur de $0$ dans cet anneau.

(je ne sais plus si la convention veut que $0$ soit un diviseur de $0$ ?)

Bonne journée

Fred

Administrateur

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Re : Congruence

Salut

@Glozi --- je pense que 0 n'est pas un diviseur de zéro (c'est plus cohérent pour définir un anneau intègre).

F.

Glozi

Invité

Re : Congruence

Bonsoir,
Oui ca serait plus pratique pour dire "un anneau intègre est un anneau sans aucun diviseur de zéros".
Cependant, lorsqu'on considère les diviseurs de $0$, il est pratique que $0$ soit l'un d'entre eux pour dire par exemple : "$pgcd(0,0)=0$". Le plus grand commun diviseur (au sens de la relation d'ordre partiel de divisibilité).
Je ne sais pas si ça a quelconque valeur mais la page Wikipedia française te donne raison $0$ n'est pas un diviseur de $0$. En revanche, la page anglaise préfère dire que $0$ est un diviseur de $0$ (il y a même un paragraphe qui traite de pourquoi).

Bonne soirée

Robain

Invité

Re : Congruence

@Glozi ---

Bonsoir,
Merci de me répondre et de prendre votre temps avec mon problème,
En effet, si je suis votre logique de la solution pour la classe de 3 par exemple.
Je vois bien que 3 et 26 sont premiers entre eux (PGCD(3,26)=1).
Donc j'arrive à la conclusion que 3 est bien un diviseur de zéro.
Mais quand j'ai fait mes recherches, je trouve qu'en fait 3 est inversible dans l'anneau Z/26Z
Donc je ne comprends pas dans quel partie de votre raisonement je l'ai mal appliqué.
Et encore une fois merci de votre aide!

Glozi

Invité

Re : Congruence

$3$ est premier avec $26$, donc $3$ est inversible dans $\mathbb{Z}/26\mathbb{Z}$ donc ce n'est pas un diviseur de $0$.

bridgslam

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Re : Congruence

Bonjour,

Robain vous pouvez aussi vous en sortir avec de l'arithmétique de base (sans même connaître la relation de Bezout), en utilisant par exemple le théorème de Gauss : si n divise ab , et que n et a sont étrangers, alors ... donc la classe de b sera nulle modulo n: ainsi a ne sera certainement pas un diviseur de 0.
Si n et a ont un pgcd d > 1, vous trouverez facilement au moins  un b, non multiple de n, tel que ab soit multiple de n.
Il suffit d'écrire a = da' et n = dn', et je vous laisse finir.

A.