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#1 20-12-2016 20:56:30
- tina
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limite
Bonjour,
soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ et soit $n \geq 1.$ On note $\theta_n(x)= \dfrac{1}{n} \varphi(\dfrac{x}{n}).$
J'essaye de calculer la limite simple de $\theta_n$. Si on fixe $x$ dans $\mathbb{R}$, que vaut [tex]\lim_{n \to +\infty} \theta_n(x)[/tex] ? S'il vous plaît.
Merci d'avance.
Dernière modification par tina (20-12-2016 20:58:33)
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#5 20-12-2016 22:18:01
- tina
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Re : limite
et pour la convergence uniforme de $D^\alpha \theta_n$. Soit $\alpha \in \mathbb{N}$. On a:
$$
|D^\alpha \theta_n| = |\dfrac{1}{n^{\alpha +1}} D^\alpha \varphi(\dfrac{x}{n})|
$$
on a alors
$$
\lim_{n \to +\infty}|D^\alpha \theta_n| = 0
$$
On a aussi
$$
Supp \theta_n \subset [-nR,nR] \subset [-R_1,R_1]
$$
et
$$
upp \emptyset \subset [-R_1,R_1]
$$
on conclut que $\theta_n$ converge dans $\mathcal{D}$ vers $\theta \equiv 0$.
C'est bon?
Et ça ne fait rien si les supports sont inclus dans un intervalle [-R_1,R_1]$ plus gros que $[-R,R]$? S'il vous plaît
Dernière modification par tina (20-12-2016 22:18:19)
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#8 21-12-2016 10:25:44
- Yassine
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Re : limite
C'est la bonne condition. Tu n'as pas montré que les $\theta_n$ la respectent.
Tu as écris $Supp \theta_n \subset [-nR,nR] \subset [-R_1,R_1]$, tu as "caché" la dépendance à $n$ en écrivant $R_1$ mais en réalité $R_1$ dépend de $n$ (il faut avoir $R_1 \ge nR$, tu ne pourras pas trouver un $R_1$ qui marche pour tous les $n$).
Indication donc : il faut que tu montres que cette condition n'est pas respectée.
La condition dit :
$\exists K \text{ compact } \forall n, Supp(\theta_n) \subset K$
Tu dois donc montrer que
$\forall K \text{ compact } \exists n, Supp(\theta_n) \nsubseteq K$
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#9 21-12-2016 10:46:14
- tina
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Re : limite
Je propose ceci:
si $n=1$ alors $Supp \theta_n \subset [-R,R]$
et si $n \geq 2$ alors $Supp \theta_n \nsubseteq [-R,R]$ car $nR > R$
On conclut donc que $Supp \theta_n$ ne peut pas être inclus dans le même compact, quelque soit $n \in \mathbb{N}$.
Ainsi, $\theta_n$ ne converge pas dans $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ vers $\theta \equiv 0$.
C'est bon? S'il vous plaît.
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#10 21-12-2016 11:27:03
- Yassine
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Re : limite
Non, ce n'est pas correct.
Relis ce que je t'ai dit de démontrer.
Si tu lis $\forall K$ compact, ta démonstration doit commencer par : Soit $K$ un compact quelconque.
Ensuite, ça se poursuit par $\exists n$, il faut donc que tu trouves au moins un $n$ qui vérifie la condition demandée. Il suffit d'en trouver un.
Il faut également que tu précises ce que c'est que le $R$ dont tu parles.
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#11 21-12-2016 16:52:14
- tina
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Re : limite
Pour le $R$, c'est simple. Puisque $\varphi$ est une fonction test, elle est à support compact et donc il existe $R >0$ tel que $Supp \varphi \subset [-R,R]$
Par contre, j'ai reflechi comment trover un $n$ pour vérifier la condition demandée, mais je ne comprend pas comment. Pouvez vous s'il vous plaît m'indiquer comment le faire.
Merci pour votre aide.
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#12 21-12-2016 18:11:32
- Yassine
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Re : limite
Prends un $x_0$ tel que $\varphi(x_0) \neq 0$ (je suppose bien sûr que $\varphi \neq 0$)
Et considère $x_n=nx_0$.
Que vaut $\theta_n(x_n)$ ?
Prend un compact $K$ quelconque, peux-tu trouver un $x_n$ qui n'est pas dans $K$ ?
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#13 21-12-2016 19:33:21
- tina
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Re : limite
alors $\theta_n(x_n) \neq 0$, ce qui veut dire que $x_n \in K$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Après, quand $n \to +\infty$, $n x_0$ n'est plus dans K. C'est ok? S'il vous plaît
Dernière modification par tina (21-12-2016 20:22:49)
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#14 21-12-2016 21:18:49
- Yassine
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Re : limite
Tu as un peu l'idée mais tu écris des choses incorrectes (pourquoi $x_n \in K$ ? On a dit que $K$ était quelconque, et qui parle de limite ?)
Si tu reprend :
$\varphi \neq 0$, donc $\exists x_0 \neq 0$ tel que $\varphi(x_0) \neq 0$
On note $x_n=nx_0$. On a alors $\theta_n(x_n) = \dfrac{\varphi(x_0)}{n} \neq 0$.
Soit $K$ un compact quelconque. Alors, $\exists R > 0$ tel que $K \subset [-R,R]$.
Soit $n_0$ tel que $n_0 > \dfrac{R}{|x_0|}$, alors $|x_{n_0}|=n_0|x_0| > R$ et donc $x_{n_0} \notin K$.
Comme $\theta_{n_0}(x_{n_0}) \neq 0$, alors $Supp(\theta_{n_0}) \nsubseteq K$. CQFD.
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#15 22-12-2016 11:49:02
- tina
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Re : limite
Bonjour,
Merci beaucoup, c'est très bien compris maintenant; sauf pour un point: on dit que puisque $\varphi \neq 0$, alors il existe $x_0 \neq 0$ t.q $\varphi(x_0) \neq 0$.
Qu'est ce qui nous dit que $x_0$ est non nul? D'habitude on dit qu'il existe un $x_0$ t.q $\varphi(x_0) \neq 0$, sans préciser s'il est nul ou pas.
Merci pour votre aide.
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#20 23-12-2016 19:04:07
- Yassine
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Re : limite
C'est quand même très simple !
je veux montrer que $(\forall x \neq 0, \varphi(x)=0) \implies \varphi = 0$.
Donc,je commence par supposer que la prémisse de l'implication est vraie. Comme manifestement $\dfrac{1}{n} \neq 0$, alors $\varphi(\dfrac{1}{n})=0$
Ce qui permet de conclure, c'est la continuité de $\varphi$. Elle ne peut pas être nulle proche de $0$ et non nulle juste en $0$. La limite permet d'exprimer ça.
On peut se passer de ça et exprimer juste le fait que $\varphi$ étant continue en $0$, si est non nulle en zéro, alors elle est forcément non nulle sur un voisinage de $0$, et ce voisinage contient forcément des éléments non nuls.
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