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#1 03-12-2016 12:45:54
- tina
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question
Bonjour,
j'ai l'exercice suivant. Soit la fonction $f$ définie par
$$
f(x)
=
\begin{cases}
\dfrac{1}{x} &:x >0\\
0 &: x \leq 0
\end{cases}
$$
la question est de montrer que la relation
$$
\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): \displaystyle\int_{\mathbb{R}} f(x) \varphi(x) dx
$$
ne définie pas une distribution sur $\mathbb{R}$
et que la relation
$$
\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^+): \displaystyle\int_{\mathbb{R}} f(x) \varphi(x) dx
$$
définie une distribution sur $\mathbb{R}^+$.
Alors voilà, je commence par prendre une fonction test $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ quelconque, et on a:
$$
\displaystyle\int_{\mathbb{R}} f(x) \varphi(x) dx = \displaystyle\int_0^R \dfrac{\varphi(x)}{x}dx
$$
mais après, que faire? S'il vous plaît.
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#2 03-12-2016 17:11:04
- Yassine
- Membre
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Re : question
Pour montrer que ce n'est pas une distribution, il suffit de montrer qu'elle n'est pas définie pour une fonction test particulière.
Tu peux donc en choisir une qui t'arrange, et ici, comme le problème se passe autour de $0$, tu peux en choisir une qui vaut $1$ sur un voisinage de $0$.
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#3 03-12-2016 17:19:50
- tina
- Membre
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Re : question
Oui, j'y ai pensé mais dans ce cas, comment on découpe l'intégrale $\displaystyle\int_0^R \dfrac{\varphi}{x} dx$? ou bien on considère que $[0,R]$ tout entier est un voisinage de 0, et on dit que si $\varphi$ est une fonction test qui vaut $1$ au voisinage de 0, alors on a:
$$
\langle T, \varphi \rangle = \displaystyle\int_0^R \dfrac{1}{x} dx,
$$
cette intégrale est divergente donc T n'est pas bien définie, ce qui montre que ce n'est pas une distribution sur $\mathbb{R}$.
Pour le cas où $\varphi \in \mathbb({R}^+)$, ça inclus le cas $x=0$, donc pour que ce soit une distribution, il faudrait que $\varphi$ soit une fonction test de $\mathcal{D}(\mathbb{R}^\star)$. Non? Je n'arrive pas à écrire corectement comment enlever le 0 des bornes de l'intégrale si $\varphi$ est une fonction test sur $\mathbb{R}^\star$.
Merci pour votre aide.
Dernière modification par tina (03-12-2016 17:20:15)
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#4 03-12-2016 17:46:48
- Yassine
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Re : question
Tu prends une fonction plateau $\varphi$ qui vaut $1$ sur $[-1,1]$ par exemple, de support $[-2,2]$ et qui soit positive sur $[-2,2]$.
Alors $\displaystyle \int_{[0,2]} \dfrac{\varphi(x)}{x}dx \ge \int_{[0,1]} \dfrac{\varphi(x)}{x}dx$ car $\varphi$ est positive.
Soit encore, comme $\varphi$ vaut $1$ sur $[-1,1]$ :
$\displaystyle \int_{[0,2]} \dfrac{\varphi(x)}{x}dx \ge \int_{[0,1]} \dfrac{1}{x}dx \to +\infty$
Pour le cas $\mathbb{R}^+$, j'ai un doute, normalement, dans la définition de $\mathcal{D}(\Omega)$ on doit choisir comme espace $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$, or, $\mathbb{R}^+$ n'est pas un ouvert de $\mathbb{R}$ (il ne contient pas de voisinage de $0$). Es-tu sûr que ce n'est pas $\mathbb{R}^*_+$ ?
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#8 04-12-2016 10:02:05
- Yassine
- Membre
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Re : question
Je ne suis pas sûr de bien comprendre.
D'abord, si c'est en relation avec $\dfrac{1}{x}$, on n'a pas besoin qu'elle soit intégrable sur $\mathbb{R}^*_+$ (elle ne l'est pas) mais juste localement intégrable, c'est à dire intégrable sur tout compact $K \subset \mathbb{R}^*_+$.
De manière générale, pour l'intégrale de Lebesgue, on considère plutôt $\bar{\mathbb{R}}$ comme ensemble cible, ce qui permet d'écrire $\displaystyle \int_{\mathbb{R}^*_+} \dfrac{1}{x}dx = +\infty$. Une fonction est dite intégrable si $\displaystyle \int_{\mathbb{R}^*_+} fd\mu < +\infty$ et une fonction $f$ est intégrable sur une partie $A$ si la fonction $f\chi_A$ est intégrable ($\chi_A$ étant la fonction indicatrice de l'ensemble $A$).
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#9 04-12-2016 10:42:09
- tina
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Re : question
Je ne comprend pas très bien. On éctit pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^\star_+)$ on peut donc supposer que $\mbox{Supp} \varphi \subset [a,R]$ où $a>0$ on a:
$$
\langle T,\varphi \rangle = \displaystyle\int_{\mathbb{R}^\star_+} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx = \displaystyle\int_a^R \dfrac{\varphi(x)}{x} dx < +\infty
$$
ce qui montre que T est bien définie.
d'autre part, il est clair que T est linéaire et continue sur $\mathbb{R}^\star_+$, donc $T$ est une distribution sur $\mathbb{R}^\star_+$.
C'est correct? S'il vous plaît.
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#10 04-12-2016 10:56:04
- Yassine
- Membre
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- Messages : 1 090
Re : question
Tu as dû voir dans ton cours que toute fonction $f \in L^1_{loc}(\Omega)$ définit une distribution dans $\mathcal{D}'(\Omega)$ notée $T_f$ ou simplement $f$ s'il n'y a pas de risque de confusion.
Tu n'a pas à redémontrer tout ça. Il faut juste dire que $f: x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est localement intégrable sur $\mathbb{R}^*_+$
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#11 04-12-2016 11:06:05
- tina
- Membre
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Re : question
Ah ok, merci beaucoup.
Donc, pour répondre à l'exercice, on dit que
1. Dans le cas où $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}$, la fonction $x \to \dfrac{1}{x}$ n'est pas localement intégrable sur $\mathbb{R}$ car elle n'est pas intégrable au voisinage de zéro, et par conséquent, elle ne définit pas une distribution sur $\mathbb{R}$.
2. Dans le cas où $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^\star_+)$, la fonction $x \to \dfrac{1}{x}$ est localement intégrable sur $\mathbb{R}^\star_+$, elle définie donc une distribution sur $\mathbb{R}^\star_+.$
C'est correct? Et s'il vous plaît, dans mon autre post intitulé question 1, est ce qu'on a besoin de faire le calcul que je cherche à faire?
Je vous remercie par avance.
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#12 04-12-2016 11:31:35
- Yassine
- Membre
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Re : question
Je pense que tu utilises sans le savoir un argument qui n'est pas évident (qui est juste).
On a dit que dans le cours, on voit que $f \in L^1_{loc}(\Omega) \Rightarrow T_f \in \mathcal{D}'(\Omega)$ (implication)
Mais si tu as $P \Rightarrow Q$, tu n'as pas forcément que $non(P) \Rightarrow non(Q)$.
Il faut donc montrer que $f \notin L^1_{loc}(\Omega) \Rightarrow T_f \notin \mathcal{D}'(\Omega)$. Ce qui revient peu ou prou au contre-exemple que j'ai donné avec la fonction plateau.
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