Forum de mathématiques - Bibm@th.net

dike

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Tenseur & divergence.

Bonjour tout le monde !

Cela fait un certain temps que je n'ai pas pratiqué les mathématiques de façon approfondie, et vous me voyez confronté à un problème pour lequel j'ai besoin s'il vous plaît d'aide.

En quelques lignes, nous avons un champ tensoriel (3x3) dans l'espace (x,y,z) :

T (x, y, z) =

t11 t12 t13
t21 t22 t23
t31 t32 t33

Nous accompagnons ceci par une divergence nulle, ce qui nous donne 3 équations :

dt11/dx + dt12/dy + dt13/dz = 0
dt21/dx + dt22/dy + dt23/dz = 0
dt31/dx + dt32/dy + dt33/dz = 0

Il se passe que je ne sais plus comment exprimer T(x+dx, y+dy, z+dz) (en fonction de T(x,y,z)) en m'aidant de cette divergence.

Quelqu'un pourrait-il svp me donner un coup de main ? Merci   :)

dike

Roro

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Re : Tenseur & divergence.

Bonjour dike,

Sans plus d'information sur T, on ne peut pas espérer avoir, de façon exacte, [tex]T(x+dx,y+dy,z+dz)[/tex] en fonction de [tex]T(x,y,z)[/tex], même à l'aide de la divergence de [tex]T[/tex].

Par contre, si tu supposes que dx, dy et dz sont "petits" alors tu peux utiliser une formule de Taylor qui dira
[tex]T(x+dx,y+dy,z+dz) \approx T(x,y,z) + dx \frac{\partial T}{\partial_x}(x,y,z) + dy \frac{\partial T}{\partial_y}(x,y,z) + dz \frac{\partial T}{\partial_z}(x,y,z).[/tex]

Le fait que la divergence de [tex]T[/tex] soit nulle ne t'aide pas beaucoup pour simplifier cette expression...

Peut être qu'en sachant où tu veux en venir on pourra mieux t'orienter ?

Roro.

Dernière modification par Roro (22-04-2016 13:30:50)

dike

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Re : Tenseur & divergence.

Bonjour Roro,

Merci de ta réponse.

Je cherche en fait à calculer un champ de force et il se peut qu'il me soit suffisant d'avoir les valeurs les unes par rapport aux autres, c'est à confirmer. En fait, j'ai un peu creusé entretemps et je me demande si ce qui suit est exact : si on prend, pour simplifier, un tenseur 2x2 dans un espace à 2 dimensions :

T(x1,y1) =

a1 b1
b1 c1

et on cherche T(x2,y2) avec x2=x1+dx ; y2=y1+dy

T(x2,y2) =

a2 b2
b2 c2

avec bien entendu

a2 = a1 + da
b2 = b1 +db
c2 = c1 + dc

Et vu que la divergence est nulle :

da/dx + db/dy = 0
db/dx + dc/dy = 0

Alors, le fait de fixer p.ex. da, tout en connaissant dx et dy, impose db puis dc. On connait donc T(x2,y2) en fonction de T(x1,y1), n'est-ce-pas ?

J'ai d'ailleurs du mal à interpréter ce "da/dx" de la première ligne de la divergence en cas d'augmentation de "a" (da>0) le long de l'axe 0y (dx=0)...

volontiers A+ :)

dike

Roro

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Re : Tenseur & divergence.

Re,

J'ai l'impression que tu confonds la dérivée partielle [tex]\frac{\partial a}{\partial x}[/tex] avec un quotient [tex]da[/tex] divisé par [tex]dx[/tex], ce qui n'est pas le cas.
C'est comme si tu disais que pour une fonction d'une variable on a [tex]f'(x) = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/tex]. Sauf que l'égalité est rarement vraie (en général le terme de droite dépend de h !).

De plus dans ton dernier exemple le cas est beaucoup plus simple que dans ton premier exemple puisque ton tenseur est d'ordre 2, et qu'il est symétrique. Néanmoins, connaitre la divergence ne suffit pas pour connaitre toutes les dérivées partielles (c'est ce qu'il faudrait pour approcher T(x+dx,y+dy) en fonction de T(x,y) à l'ordre 1).

Concernant ta dernière remarque, elle rejoint la première : par définition 
[tex]\frac{\partial a}{\partial x}(x,y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.[/tex]
Ainsi, sur l'axe [tex](Oy)[/tex], il suffit de remplacer [tex]x[/tex] par [tex]0[/tex]. D'un point de vue géométrique, ça correspond à l'accroissement de [tex]a[/tex] lorsqu'on traverse l'axe [tex](Oy)[/tex] dans le sens de l'axe [tex](Ox)[/tex].

Roro.

Dernière modification par Roro (22-04-2016 15:43:12)

dike

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Re : Tenseur & divergence.

Hello,

Je crois que tu as raison quand tu dis que je confonds dérivée partielle et quotient ; je crois que je suis en vérité en train de rafraîchir quelque peu mes connaissances en mathématiques.

Je vais encore un peu examiner mon problème avec ces nouveaux éléments, probablement que je reviendrai ensuite  :)

Cordialement,

dike