Forum de mathématiques - Bibm@th.net

boski

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centralisateur d'un groupe

Bonjour,
Soit G un groupe et g ∈ G. On appelle centralisateur de g l’ensemble
Cg(G) = {x ∈ G|gx = xg}
Est-ce que le centralisateur d’un element de G est toujours un sous-groupe normal ?
je vous remercie d'avance

Fred

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Re : centralisateur d'un groupe

Salut

Quand on cherche à vérifier la définition d'un sous-groupe normal on voit très vite qu'il n'y a pas de raison pour que cela soit vrai. Le plus difficile est de trouver un contre exemple. Je l'ai fait dans le groupe S4 des permutations car on y connait bien les conjugués des éléments.

Je te propose donc de prendre g=(1 2) x=(3 4) et a=(2 3)
Il est facile de voir que x est dans le centralisateur de g mais que ce n'est pas le cas du conjugué de x par a.

Fred

boski

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Re : centralisateur d'un groupe

Merci beaucoup Fred