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mona123

Invité

analyse de hilbert

bonjour pouvez vous s'il vous plait maidez a resoudre ce probleme:

Soit (e_k) une suite totale et orthonormale dans un Espace de Hilbert H séparables. et soit T : H → H définie en ek par: T(e_k) = e_{k + 1}. , k = 1, 2,..... linéairement et continuellement étendu à H.
a)Trouver les sous-espaces invariants.
b)montrer que T n'a pas de valeurs propres.
voici ce que j'ai pu faire:
a)on pose
X_n=vect{e_n,e_n+1,…}
on a chaque  X_n, n≥1 est un sous-espace invariant de T  car
mais je ne peut pas prouver que  ce sont les seuls sous-espaces invariants.
b)Il est clair que Ker (T) = {0}, c' est à dire 0 n' est pas une valeur propre de T. Supposons λ # 0
est une valeur propre de T. parsuite, Tx = λx pour certains x non nul. Alors,
0 = λx1
x1 = λx2
x2 = λx3
· · ·
EN Résolvant  le dernier système nous obtenons x = 0. Contradiction! Ainsi T n'a pas
de valeurs propres.
pouvez s'il vous plait m'aider
merci en avance

Fred

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Re : analyse de hilbert

Bonjour,

  Je suis d'accord pour la question b).
Pour la question a), impossible qu'on te la pose comme cela! L'étude des sous-espaces invariants de cet opérateur est délicate et liée à la théorie des fonctions intérieures.

Fred.

mona123

Invité

Re : analyse de hilbert

bonjour Fred
la question a est posée  par notre prof telque elle est ecrite.pouvez vous m'aider car je suis vraiment bloqué .merci

Fred

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Re : analyse de hilbert

Non, je ne peux pas car c'est vraiment trop dur. La seule chose que je peux faire, c'est te dire de lire le livre de Rudin "Analyse réelle ou complexe" où un des chapitres est consacré à ce problème. Mais ce n'est en aucun cas du niveau d'un exercice posé ainsi.

mona123

Invité

Re : analyse de hilbert

bonjour Fred j'ai reflichit pour repondre a la question a) et voici ce que j'ai ecrit
soit X un sous espace invariant donc il exist n dan N telque en  ∈ X
on pose k=min{n|e_n ∈X}
on a X_k=vect{e_k,e_k+1,…}⊂ X  car si e_k∈ X alor e_n+k=Tⁿ(e_k)∈ X par definition de X
mais je ne peut pas demontrer l'autre inclusinon.mon idée est elle juste .si oui aidez moi s'il vous plait a la terminée.merci

Fred

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Re : analyse de hilbert

Non, elle n'est pas juste et comme je te l'ai déjà expliqué, c'est un problème difficile qu'on ne peut pas résoudre si facilement. Les sous-espaces invariants que tu donnes ne sont pas les seules. Il y en a beaucoup d'autres et la description est difficile. Je ne peux que te renvoyer au livre que j'ai déjà cité.

mona123

Invité

Re : analyse de hilbert

salut  Fred
pour la question a) si on demande de donner un exemple de sous espace invariant
pout je repondre comme suit:
on a pour tout n dans N* X_n=vect{e_n,e_n+1,…} est un sous espace invariant en effet
pour tout x dans X_n  on a      x=Σ_i>=n  α_i e_i alors T(x)=T(Σ_i>=n  α_i e_i) =Σ_i>=n  α_i  T(e_i)=Σ_i>=n  α_i e_i+1 ∈H_n
donc T(H_n)⊂H_n ce qui donne H_n est un sous espace invariant  pour tout n∈N*.ma reponse est elle juste . merci encore une fois.

Fred

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Re : analyse de hilbert

Pour un exemple, oui...