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Antoine27182818

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Résoudre l'équation non linéaire x''+ax -bx^2 = c, où a, b et c sont d

Bonjour, je souhaite résoudre l'équation différentielle non linéaire suivante:

x''+ ax -bx^2 = c

J'ai essayé diverses méthodes de substitutions, mais je ne suis pas certain de savoir comment procéder. Auriez-vous des idées ?

Merci beaucoup d'avance pour votre aide !

Antoine

Roro

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Re : Résoudre l'équation non linéaire x''+ax -bx^2 = c, où a, b et c sont d

Bonsoir,

Je serai tenté de multiplier l'équation par x' pour faire apparaître une équation d'ordre 1 (en reconnaissant des dérivées du style (x^3)'...) mais ensuite ce n'est pas vraiment plus simple... enfin si mais ce n'est pas gagné car il faudrait connaitre les primitives de fonctions de la forme [tex]\frac{1}{\sqrt{\alpha x^3 + \beta x^2 + \gamma x + \delta}}[/tex]...

Roro.

Antoine27182818

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Re : Résoudre l'équation non linéaire x''+ax -bx^2 = c, où a, b et c sont d

Merci de votre réponse, en faisant retravaillant l'expression on peut obtenir:

x''x'=cx' -a/2(x^2)' +b/3(x^3)'

c'est à dire 1/2(x'^2)'=(cx-a/2x^2-b/3x^3)'

soit x'=(2cx-a/2x^2-b/3x^3)^(-1/2) + cst

mais comment intégrer la partie restante alors...

Roro

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Re : Résoudre l'équation non linéaire x''+ax -bx^2 = c, où a, b et c sont d

Bonjour,

soit x'=(2cx-a/2x^2-b/3x^3)^(-1/2) + cst

mais comment intégrer la partie restante alors...

Je ne pense pas qu'on puisse intégrer de façon explicite ce type d'expression...

Roro.

JJ

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Re : Résoudre l'équation non linéaire x''+ax -bx^2 = c, où a, b et c sont d

Cette équation différentielle conduit (comme cela a été déjà montré) à une intégrale de la forme Somme dx/(P(x))^1/2
Avec P(x) un polynôme de degré 3 dans le cas présent.
La première chose à faire est d'expliciter les trois racines (réelles ou complexes) de l'équation P(x)=0. Supposons que cela a été fait (méthode dite de Cardan) et désignons ces racines par A, B et C.
L'intégrale se met sous la forme Somme dx/((x-A)(x-B)(x-C))^1/2
(avec un coefficient constant connu qui sort donc de l'intégrale proprement dite).
Cette intégrale se calcule théoriquement selon la méthode générale de réduction des intégrales elliptiques (ardu si on veut le faire "à la main"). Un logiciel de calcul formel donne le résultat :
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in … 29&x=2&y=5
l'expression contient une fonction spéciale : "elliptique de première espèce".
Ceci conduira à une formule donnant t en fonction de x. La fonction réciproque x(t) ne s'exprime pas avec un nombre fini de fonctions élémentaires ou spéciales répertoriées.
En conséquence, bien que la résolution analytique soit théoriquement possible, le résultat serait tellement compliqué que l'on ne voit pas à quoi il pourrait servir en pratique. Les méthodes de résolution numérique d'équatiopns différentielles sont certainement plus appropriées pour répondre concrètement au problème.