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Demonight

Invité

Probabilités et processus

Salut,
Tout d'abord je vous prie de bien vouloir m'excuser pour l'écriture mathématique mais je ne maitrise pas du tout Latex !
Je viens vers vous car j'ai un exercice en lien avec les processus de Poisson mais je bloque rapidement ! Je pense avoir réussi la question 1 en posant Si = h(Ti). De la sorte, Z(t) est bien un processus de comptage. Cependant je n'arrive pas à démarrer les deux autres questions ...

Voici l'énoncé :

Soit f une fonction continue sur R+. On suppose qu'il existe une constante C > 0 telle que pour tout t >= 0, on est 0 < f(t) <= C. On introduit h(t) = f(s)ds (l'intégrale allant de 0 à t), ainsi que sa fonction réciproque r(t).
Soit N(t), (t>=0) le processus de comptage d'un processus de Poisson 0 < T1 < T2 < ... de paramètre 1 et on pose Z(t) = N( h(t) ) (somme allant de 1 à infini).

Voici les questions :

1°) Montrer que Z(t), (t>=0) est un processus de comptage d'instants de sauts 0 < S1 < S2 < ... (qu'on exprimera en fonction des Ti).

2°) Pour 0 < t1 < t2 < ... < tk , donner la loi du vecteur (Zt1,Zt2 −Zt1,...,Ztk −Ztk−1).

3°) Les accroissements de Z(t), (t≥0), sont-ils indépendants ? stationnaires ?

Pouvez-vous m'éclairer ?
Merci d'avance et excellente journée