Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 02-01-2015 19:23:43
- Gimlhi
- Membre
- Inscription : 09-12-2014
- Messages : 17
Démonstration par récurrence.
Bonjour, je fait des exercices commes tout le jour et je tombe sur un démonstration par récurrence où je bloque.
Voila l'exercice: http://www.hostingpics.net/viewer.php?i … 102003.jpg
(Je m’entraîne avec le Latex mais j'ai du mal pour l'instant)
Pour l'initialisation j'ai pas de problèmes, pour l’hérédité on suppose que c'est vrai pour un rang n ou montrer que ca l'est aussi pour rang n+1.
[tex]{(1+x)^{n+1}}={(1+x)^n \times (1+x)}[/tex]
[tex]= \sum_{k=0}^n\ \frac {n!}{k!(n-k)!}\ \times x^k \times (1+x)[/tex]
Ici je bloque, je me doute que je doit aussi remplacer le [tex](1+x)[/tex] juste au dessu par une somme, mais mes résultat n'aboutisse pas, si quelqu'un peu m'indiquer la voie a suivre pour me débloquer. Merci pour l'aide.
Hors ligne
#2 02-01-2015 22:19:59
Re : Démonstration par récurrence.
Bonsoir !
Petite remarque sur le Latex, pour compléter le guide de Yoshi, google est très efficace... à chaque fois que je ne sais pas faire machin je tappe "machin latex" sur google et je tombe très vite sur une réponse.
Pour ton exercice, moi j'ai fais comme ça : plutôt que de me trimballer des factoriels j'ai gardé la forme "compacte" des k parmis n. Puis en développant dans ta dernière égalité et en effectuant un petit changement d'indices j'obtiens :
[tex] (1+x)^{n+1} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{k+1}= \big( 1 + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} x^k \big) + \big( \sum_{k=1}^n \binom{n}{k-1} x^k +x^{n+1} \big) [/tex].
Il ne te reste plus qu'à conclure avec le rappel donné dans ton énoncé :).
Hors ligne
#3 02-01-2015 23:16:06
- Gimlhi
- Membre
- Inscription : 09-12-2014
- Messages : 17
Re : Démonstration par récurrence.
Bonsoir !
Petite remarque sur le Latex, pour compléter le guide de Yoshi, google est très efficace... à chaque fois que je ne sais pas faire machin je tappe "machin latex" sur google et je tombe très vite sur une réponse.
Merci pour le conseil ^^
J'ai pas tout compris:
[tex] (1+x)^{n+1} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{k+1}[/tex]
ici c'est, [tex](1+x)^{n+1}=(1+x)^n\times (1+x)[/tex] que tu as remplacé par "sa forme somme" ?? Mais pourquoi [tex](1+x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{k+1}[/tex] ? surtout le x^(k+1) que j'ai pas compris.
Enssuite,
[tex]= \big( 1 + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} x^k \big) + \big( \sum_{k=1}^n \binom{n}{k-1} x^k +x^{n+1} \big) [/tex].
Ici, c'est du réindiçage que tu as fait, dans la première somme tu as augmenter k de 1, donc tu as enlever le k=0 et pour que ca reste égal tu la ajouté or de la somme, pour la seconde somme tu as aussi augmenter k de 1 donc pour que cela reste égale tu as augmenter n de 1 dans l'équation ? Mais pourquoi dans le binome tu as mit k-1 ?
Merci pour tout !
Hors ligne
#4 02-01-2015 23:46:56
Re : Démonstration par récurrence.
Re,
ici c'est, [tex](1+x)^{n+1}=(1+x)^n\times (1+x)[/tex] que tu as remplacé par "sa forme somme" ?? Mais pourquoi [tex](1+x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{k+1}[/tex] ? surtout le x^(k+1) que j'ai pas compris.
Oulà non c'est faux. Tu t'es mis en tête de ré-écrire 1+x sous "forme de somme" mais c'est incompréhensible, c'est déjà une somme ! Tu ne confondrais pas avec le développement en série entière de [tex]\frac{1}{1+x}[/tex] ? Bref, (1+x) c'est déjà une somme !
Je suis partis de la dernière égalité que tu as écrites en utilisant la notation "k parmis n" plutôt que des factoriels. Ensuite j'ai simplement développé... Autrement, si tu préfères j'ai écris que [tex](1+x)^{n+1}[/tex] est égal à [tex]1(1+x)^n + x (1+x)^n [/tex], puis j'ai remplacé (1+x)^n pour le coup par sa forme somme, qui est supposée vrai au rang n.
[tex]= \big( 1 + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} x^k \big) + \big( \sum_{k=1}^n \binom{n}{k-1} x^k +x^{n+1} \big) [/tex].
Ici, c'est du réindiçage que tu as fait, dans la première somme tu as augmenter k de 1, donc tu as enlever le k=0 et pour que ca reste égal tu la ajouté or de la somme, pour la seconde somme tu as aussi augmenter k de 1 donc pour que cela reste égale tu as augmenter n de 1 dans l'équation ? Mais pourquoi dans le binome tu as mit k-1 ?
Je n'ai pas augmenté k de 1 dans la première somme. J'ai séparé la somme en deux morceaux : le premier terme d'un côté, le reste de l'autre.
Dans la seconde somme j'ai fais le changement de variable [tex]i=k+1[/tex] puis j'ai séparé le résultat en deux morceaux, les termes de 1 à n d'un côté et le dernier terme de l'autre. J'ai ensuite ré-utilisé la lettre k pour plus de commodité.
Hors ligne
#5 03-01-2015 12:44:42
- Gimlhi
- Membre
- Inscription : 09-12-2014
- Messages : 17
Re : Démonstration par récurrence.
Ah oui autant pour moi, fallait juste développer.
donc de:
[tex]\big( 1 + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} x^k \big) + \big( \sum_{k=1}^n \binom{n}{k-1} x^k +x^{n+1} \big)[/tex]
on obtient:
[tex] = x^{n+1}+1+\sum_{k=1}^n \binom{n}{k} x^k + \binom{n}{k-1} x^k[/tex]
[tex] = x^{n+1}+1+ \sum_{k=1}^{n} \binom {n+1}{k} x^k[/tex]
Désoler, mais j'ai un peu de mal là.
[tex] = x^{n+1}+1+ \sum_{k=1}^{n} \binom {n+1}{k} x^k=x^{n+1}+\sum_{k=0}^{n} \binom {n+1}{k} x^k=\sum_{k=0}^{n+1} \binom {n+1}{k} x^k[/tex] ???
Si c'est sa, j'ai du mal a savoir quand est ce que l'on change les chiffres dans les binomes ? Je sais pas si c'est très claire ^^ ?
Hors ligne
#6 03-01-2015 17:47:56
Re : Démonstration par récurrence.
Salut,
Pour moi tout ce que tu as écris est juste et me suffirait. Du coup le problème c'est pour [tex]\binom{n}{k}+ \binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k}[/tex] ? C'est la formule rappelée dans l'énoncé pour n+1 au lieu de n. Tu peux soit la remontrer via l'expression explicite avec des factoriels soit utiliser une interprétation combinatoire. Voici la preuve explicite :
[tex] \binom{n}{k}+ \binom{n}{k-1} = \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!} = \frac{n!(n-k+1)}{k!(n-k+1)!} + \frac{n!k}{k!(n-k+1)!}=\binom{n+1}{k}[/tex].
Hors ligne
Pages : 1