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Lamina-le-sédentaire

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indépendance linéaire de aleph_1 fonctions

Bonjour à toute la communauté !

Je m'intéresse à la démonstration rigoureuse de l'indépendance linéaire des fonctions f_a qui à tout t réel associent |t-a|. Lorsque a décrit un ensemble dénombrable, un raisonnement par récurrence suffit, mais je ne vois pas comment procéder lorsque a décrit l'ensemble des réel.

J'ai pensé montrer que la seule combinaison linéaire nulle de ces fonctions est identiquement nulle, c'est à dire, notant g cette combinaison linéaire, que [pour tout t réel ∫(f_a(t)×g(a)×d(a))=0] => g est identiquement nulle, mais je pense que c'est faux de procéder ainsi car il faut que g soit au moins continue par morceaux pour que l'intégrale existe...

J'ai pensé alors à la stratégie suivante : trouver un endomorphisme opérant sur l'ensemble des fonctions pour lequel les fonctions f_a sont des vecteurs propres, de valeurs propres a, ou au moins dépendantes de a, et comme des espaces propres sont en somme directe, ce serait gagné. Mais je ne trouve pas d'endomorphisme convenable, et je ne suis pas sur que le théorème stipulant que des espaces propres sont en somme directe soit valable en dimension infinie...

C'est pourquoi j'en viens à vous. Je vous serai reconnaissant de m'éclairer.

Bien cordialement,

Bonne soirée !

Fred

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Re : indépendance linéaire de aleph_1 fonctions

Bonjour,

  C'est beaucoup plus facile que cela. En effet, la définition d'une famille libre infinie et que toute sous-famille finie est libre.
Donc que la famille soit infinie dénombrable ou infinie non dénombrable, on se ramène toujours à une famille finie.

Fred.

Lamina-le-sédentaire

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Re : indépendance linéaire de aleph_1 fonctions

Bonjour Fred !

Ça m'était complètement sorti de la tête ! Merci beaucoup ! Tu m'as permis d'éviter de perdre encore plus de temps sur ça.

Bien cordialement,

Bonne journée ! :-)