Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Valentin

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factorisation d'un polynome

Bonjour,
j'ai une question qui me fait tourner en rond,
Déterminer le nombre de racines réelles du polynôme:
P_n=nXⁿ-X^n-1-..........-X-1
Merci pour votre aide
Valentin

freddy

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Re : factorisation d'un polynome

Salut,

il y a je crois, un théorème qui énonce qu'il est égal au nombre de changement de signe ... soit 1 ici.

totomm

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Re : factorisation d'un polynome

Bonjour,

il y a une racine [tex]x_1=1[/tex] pour tout n et une racine [tex]x_2< 0[/tex] pour n pair puisqu'alors [tex]P_n \to +\infty \ quand \ x \to -\infty[/tex]

totomm

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Re : factorisation d'un polynome

Bonjour,

Valentin a sans doute complété sa solution...
En voici une :
[tex]P_n=nx^n-x^{n-1}-...-x-1 = nx^n-\frac{x^n-1}{x-1}[/tex]
[tex]P_n=\frac{Q_n}{x-1} avec\ \ \ Q_n=nx^{n+1}-(n+1)x^n+1[/tex]
[tex]Q_n[/tex] a les mêmes racines que [tex]P_n[/tex]
et il suffit de dériver [tex]Q_n[/tex] deux fois pour vérifier que
[tex]Q_n[/tex] a une seule racine négative pour n pair et aucune racine autre que x=1 pour n impair