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Rockystein

Invité

Equation : puissance et log

Bonjour,
J'ai une question à résoudre, je comprends totalement l'intuition derrière elle mais pas le développement mathématique :

"Vous disposez d’un montant V0. Si vous pouvez investir ce montant à un taux,
supposé constant, noté r alors après T périodes, vous aurez une richesse de VT = V0(1 + r)T .
Question 1: Vous vous demandez combien de temps il vous faut attendre avant que votre richesse
ait doublée. Etablissez une formule générale liant r avec la durée recherchée"
Réponse :
Etape 1 :         VT = 2V0
Etape 2 :         2V0 = V0(1 + r)T
Etape 3 :         T = ln(2) / (ln(1 + r nominal))

Pouvez vous m'expliquer comment on est passé de l'étape 2 à l'étape 3 ?

Merci beaucoup.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : Equation : puissance et log

Bonjour,

Quelque chose cloche dans ta formule , s'il s'agit bien d'intérêts composés.
..
Après 1 période :
Montant V₁=V₀(1r)
Après 2 périodes :
Montant V₂=V₁(1+r)=V₀(1+r)²
.....................
Après T périodes
V_T=V₀(1+r)^T

Et ça change tout...
Si [tex]V_T=2V_0[/tex]:
[tex]2V_0=V_0(1+r)^T[/tex]
[tex]2=(1+r)^T[/tex]

Pour accéder à T, il faut prendre le log des 2 membres :
[tex]\ln(2)=\ln((1+r)^T)=T\times\ln(1+r)[/tex]
D'où :
[tex]T=\frac{\ln(2)}{\ln(1+r)}[/tex]

Le temps nécessaire pour doubler, tripler, quadrupler... son capital de départ est indépendant de celui-ci...

@+

[EDIT]
A tout hasard :
[tex]\ln(a\times b)=\ln(a) + \ln(b)[/tex]  d'où  [tex]\ln(a^n)=\ln(\underbrace{a\times a\times a \times\cdots \times a}_{n\,fois})= n\ln(a)[/tex]