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dh8

Invité

calcul dérivée

Salut
j' essaye de calculer [tex]\langle x^n \partial^m \delta_p , \varphi \rangle[/tex], pour tout [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex] avec [tex]m,n \in \mathbb{N}[/tex] et [tex]\delta_p[/tex] la distribution de Dirac en un point [tex]p[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex].
Mon problème est que je n' arrive pas à commencer le calcule, le [tex]x^n[/tex] me pose un gros souci.
Merci par avance pour votre aide.

Fred

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Re : calcul dérivée

Salut,

  Reviens simplement à la définition du produit d'une distribution :
[tex]\langle x^n\partial^m\delta_p,\varphi\rangle = \langle \partial^m \delta_p , x^n\varphi\rangle[/tex],
puis tu as à calculer la dérivée n-ième d'un produit, par exemple à l'aide la formule de Leibniz.

Fred.

dh8

Invité

Re : calcul dérivée

Pourquoi on a besoin de la déivée n- ème d' un produit? Je ne comprend pas.

Fred

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Re : calcul dérivée

Parce que c est comme cela qu on calcule la  dérivée d une distribution

Dico

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Re : calcul dérivée

Bonjour à tous

En fait , [tex]<\partial^m\delta_p,x^n\phi>=(-1)^m\left(\frac{d^m}{dx^m}(x^n\phi)\right)(p) [/tex]
Et pour  [tex]p=0[/tex], tu pourras remarquer que [tex]<\partial^m\delta_0,x^n\phi>=0[/tex] si [tex]m<n[/tex] et pour [tex]m\geq n[/tex],  [tex]<\partial^m\delta_0,x^n\phi>=(-1)^m\phi^{(m-n)}(0) [/tex].

Bon après midi!

dh8

Invité

Re : calcul dérivée

Salut
on a [tex]<\partial ^m \delta^p,x^n \varphi > = (-1)^m (\dfrac{d^m}{dx^m] (x^n \varphi))_p[/tex]
si $p=0$, c'est clair comme l'a dis Deco, mais si $p\neq 0$? surtout je n'arrive pas à utiliser correctement la formule de Libnitz et arriver à un résultat correct.
merci de l'aide.

dh8

Invité

Re : calcul dérivée

Salut
on a [tex]<\partial^{m} \delta^{p},x^{n} \varphi > = (-1)^m (\frac{d^m}{dx^m} (x^n \varphi))_p[/tex]
si [tex]p=0[/tex], c'est clair comme l'a dis Deco, mais si [tex]p\neq 0[/tex]? surtout je n'arrive pas à utiliser correctement la formule de Libnitz et arriver à un résultat correct.
merci de l'aide.

Fred

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Re : calcul dérivée

Salut,

  Tu écris la formule de Leibnitz :
[tex]\frac{d^m}{dx^m}(x^n\phi)=\sum_{k=0}^m \binom mk (x^n)^{(k)}\phi^{(m-k)}[/tex]
et maintenant, tu dois calculer, par récurrence par exemple, la dérivée k-ième de [tex]x^n[/tex]....

Ensuite, il te suffira de remplacer.

Fred.

dh8

Invité

Re : calcul dérivée

okay, on a
pour [tex]k=0,...,n: (x^n)^(k)=n(n-1)...(n-(k-1))x^{(n-k)}[/tex] et pour [tex]k>n: (n^n)^{(k)}=0[/tex].
Ainsi, [tex]\langle x^n \partial^m \delta_p , \varphi \rangle> = (-1)^m \langle \delta_p , \sum_{k=0}^n C^m_k (x^n)^k \varphi^{(m-k)} \rangle[/tex]
le calcul s'arrete ici? ou bien comment continuer.
Autre question, quel est le support de [tex]x^n \partial^m \delta_p[/tex]?
Merci pour l'aide.

Fred

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Re : calcul dérivée

Le calcul continue bien sûr... Tu remplaces [tex](x^n)^{(k)}[/tex] par la valeur que tu as donné au début de ton post,
puis tu évalues le tout en p...

F.

dh8

Invité

Re : calcul dérivée

[tex]=(-1)^m \langle \delta_p , \sum_{k=0}^n C^m_k n(n-1)...(n-(k-1)) x^{n-k} \varphi^{(m-k)} \rangle[/tex]
[tex]=(-1)^m \sum_{k=0}^n C^m_k n(n-1)...(n-(k-1)) p^{n-k} \varphi^{(m-k)}(p)[/tex]
je ne trouve pas quoi calculer de plus, mais à mon avis il dois bien exister un moyen de rendre cette écriture meilleure. Mais lequel?
et comment détérminer le support de [tex]x^n \partial^m \delta_p[/tex]?
merci pour l'aide.

Fred

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Re : calcul dérivée

Je ne crois pas qu'on puisse faire beaucoup mieux. Le support est à peu près clair, non?
Ce ne peut être que [tex]\{p\}[/tex]. Regarde les exemples de ton cours
pour vérifier que c'est effectivement le support.

dh8

Invité

Re : calcul dérivée

Le support est l'adhérence de l'ensemble des points sur lequel la distribution ne s’annule pas. Puisqu'on sait que [tex]\varphi[/tex] ne s'annulle pas uniquement en[tex]p[/tex], alors le support est p? Ca s'explique ainsi? (il n'ya aucun exemple de ce genre dans mon cours, le prof est parti en congé).
Merci pour l'aide.

Fred

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Re : calcul dérivée

C'est  cela.

dh8

Invité

Re : calcul dérivée

Merci infiniment pour ton aide.