Forum de mathématiques - Bibm@th.net

David

Invité

Intégrales

Bonjour,

Voici un problème sur les intégrales dont je souhaite avoir une aide de votre part.

On donne un récipient, dont la forme est cône droit, posé sur sa base circulaire et d’axe vertical. Ce cône est progressivement rempli d’eau.
Deux objectifs sont à atteindre :
* en utilisant le calcul intégral, déterminer le volume d’eau contenu dans le récipient, en fonction de la hauteur d’eau présente, qu’on notera h. Question subsidiaire : dire alors à quelle hauteur d’eau correspond le remplissage de la moitié du volume du cône (par rapport à la hauteur totale du cône).
* déterminer en fonction de h la vitesse de montée de l’eau, sachant qu’on verse celle-ci à débit constant. Question subsidiaire : dire alors combien de temps il faut pour remplir le cône à moitié de sa hauteur (par rapport au temps de remplissage complet).

Merci

David

Fred

Administrateur

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Re : Intégrales

Salut,

  Si on note [tex] A(z) [/tex] l'aire de la section en coupant par le plan de cote  [tex]z[/tex], le volume compris entre le sol et le point de hauteur a vaut
[tex]V=\int_0^a A(z)dz [/tex]

Il reste à établir, via le théorème de Pythagore, l'expression de [tex]A(z)[/tex] en fonction de la hauteur du cône et du rayon du cercle de base.

Je réponds à cette question car tu as précisé "en utilisant le calcul intégral". Si je devais le faire sans indication, j'aurais tendance à dire que le volume est égal au volume total du cône moins le volume du cône inoccupé.

Fred.

David

Invité

Re : Intégrales

Bonjour, et merci Fred

Serait-il de développer un peu car je n'arrive pas à débuter mon exercice.

Merci

yoshi

Modo Ferox

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Re : Intégrales

Bonsoir,

O  ______ A 
   |         /
   |       /
   |      /
O'|__ / A'
   |  / 
   |/
  S
Je mets le cône dans ce sens puisqu'on va le remplir et l'eau va monter...

* en utilisant le calcul intégral, déterminer le volume d’eau contenu dans le récipient, en fonction de la hauteur d’eau présente, qu’on notera h

J'aurais appelé S le commet du cône, O le centre du cercle de base, et poser h = SO, z = SO', R = OA, r = O'A'.

En vertu du théorème de Thalès (je pense que c'est plus rapide que Pythagore), j'ai
[tex]\frac{SO'}{SO}=\frac{O'A'}{OA} \Longleftrightarrow \frac z h = \frac{r}{R}[/tex]
D'où le rayon r du disque section du cône par un plan parallèle à la base :
[tex]r=\frac{R}{h}z[/tex]
L'aire de ce disque est
[tex]A(z)=\pi\frac{R^2}{h^2}z^2[/tex]
Et [tex]\int _0^h A(z) dz = \int_0^h \pi\frac{R^2}{h^2}z^2\,dz=\left(\pi\frac{R^2}{h^2}\right)\int_0^h z^2\,dz = \cdots[/tex]

Question subsidiaire : dire alors à quelle hauteur d’eau correspond le remplissage de la moitié du volume du cône (par rapport à la hauteur totale du cône).

Deux solutions
1. Calcul "bête et méchant"
   Soit a la hauteur cherchée
   [tex]A(a) = \left(\pi\frac{R^2}{h^2}\right)\int_0^a z^2\,dz =\frac{1}{2}\times \frac 1 3 \pi R^2 h[/tex]
2. Raisonnement type Classe de 3e.
   Le cône contenant l'eau est assimilable au cône obtenu par section du "cône réservoir" par un plan parallèle à la base.
   Le petit cône constitue donc une réduction du grand cône de rapport k (k>1).
   Le volume V' du petit cône est tel que [tex]V'=k^3.V[/tex] V étant le volume du grand cône...
   J'ai donc [tex]k^3 = \frac 1 2[/tex]
   la hauteur a cherchée est donc telle que [tex]a = k.h[/tex]

@+
[EDIT]
Si le cône est posé sur sa base circulaire, ne ne vois pas bien par où on va le remplir...
Je me repenche sur le problème...

Dernière modification par yoshi (12-01-2014 10:07:20)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Intégrales

Bonjour,

Dans ce cas
   S                  OA = R, OA' = r
   |\                 OO' = z, hauteur de remplissage h depuis la base...
   | \                OS = a = hauteur du cône
O'|__\A'            SO' = a-z
O |___\A

Je reprends Thalès
[tex]\frac{SO'}{SO}=\frac{O'A'}{OA} \Longleftrightarrow \frac{a-z}{a} = \frac{r}{R}[/tex]
D'où le rayon r du disque section du cône par un plan parallèle à la base :
[tex]r=\frac{R}{a}(a-z)[/tex]
L'aire du disque de rayon r est :
[tex]A(z)=\pi\frac{R^2}{a^2}(a-z)^2[/tex]

Et  [tex]V(h)=\int _0^h A(z)\, dz = \int_0^h \pi\frac{R^2}{a^2}(a-z)^2\,dz=\left(\pi\frac{R^2}{a^2}\right)\int_0^h(a- z)^2\,dz =\left(\pi\frac{R^2}{a^2}\right)\int_0^h (a^2-2az+z^2)\,dz=\cdots[/tex]

On retrouve le résultat qu'aurait obtenu Fred s'il avait suivi sa "tendance naturelle" à soustraire 2 volumes...

Quant à la question subsidiaire je contournerais la difficulté, en disant que si le tronc de cône contient la moitié du volume, le petit cône restant aussi, de volume.
Le rayon de base du petit cône étant :
[tex]r=\frac{R}{a}(a-z)[/tex]
le volume du petit cône, lui, est
[tex]V'=\frac 1 3 \frac {\pi R^2(a-h)^2}{a^2}(a-h) =\frac 1 3 \frac {\pi R^2(a-h)^3}{a^2}[/tex]
qui vaut la moitié du volume total, soit :
[tex]\frac 1 6 \pi R^2a[/tex]

Et il te faut résoudre :
[tex]\frac 1 3 \frac {\pi R^2(a-h)^3}{a^2}=\frac 1 6 \pi R^2a\Longleftrightarrow (a-h)^3=\frac 1 2 a^3[/tex]
Assez facile à résoudre.

Sinon tu peux reprendre le raisonnement donné post précédent pour le petit cône et soustraire à la hauteur a du grand cône la valeur trouvée...

Désolé, j'aurais sûrement mieux fait de laisser Fred reprendre sa propre suite, il n'y aurait pas eu cette volte-face...

@+

[EDIT]
Il faudrait quand même être un petit peu plus réactif....

Dernière modification par yoshi (13-01-2014 09:42:58)

david

Invité

Re : Intégrales

Bonjour,

Merci pour les explications.

Avez-vous une idée sur le point suivant:

déterminer en fonction de h la vitesse de montée de l’eau, sachant qu’on verse celle-ci à débit constant. Question subsidiaire : dire alors combien de temps il faut pour remplir le cône à moitié de sa hauteur (par rapport au temps de remplissage complet).

Merci
David

yoshi

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Re : Intégrales

Bonsoir,

Dois-je penser que tu es d'accord avec mes calculs, qu'ils te conviennent ?

Oui, j'ai bien une idée pour chaque...
A prendre pour ce qu'elles valent : là, je marche sur des oeufs, surtout pour la première...

Quand bien même le débit en constant, la vitesse de remplissage, elle, varie :il y a un mouvement uniformément accéléré...
Alors je me dis, en ce qui concerne le volume A(h), peut-être une analogie avec les mouvements accélérés, je pense à [tex]\frac{dA}{dh}[/tex] mais ça me paraît trop évident.
Un autre avis serait le bienvenu...

Quant au temps, après réflexions, je me suis posé la question suivante :
à débit constant, le temps de remplissage de la moitié du volume d'un solide donné, dépend-t-il de sa forme ?
Si je pose mon cône sur la pointe et que je le remplis à moitié j'aurai une hauteur d'eau plus importante, que si je le remplis à partir de la base, MAIS la vitesse de remplissage, i.e d'élévation de l'eau est plus importante...

Pour avoir une idée de la réponse, dans le cas présent, je te suggère de prendre un exemple
Disque de base : rayon 4 m, hauteur 12 m, débit [tex]16 m^3/h[/tex] ou autre...
Et tu prends les 2 formules de calculs de volumes :
* la première en appelant h la hauteur en partant du sommet : en prenant [tex]h = \frac{12}{\sqrt[3] 2}[/tex]
* la seconde en appelant h la hauteur à partir de la base : en prenant [tex]h = 12 \times \left(1-\frac{1}{\sqrt[3] 2}\right)[/tex]

@+

yoshi

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Re : Intégrales

Re,

Non, ce ne doit pas être la dérivée telle que l'ai pensée
J'ai cherché, j'ai bien trouvé quelque chose lais ça ne colle pas : va vitesse instantanée n'est pas nulle pour h = 0, 2e raison, je n'ai pas utilisé de dérivée
Je cherche ce qui ça ne va pas

En attendant de trouver, voilà un lien vers un problème pas loin de tes préoccupations :
http://www.aestq.org/sautquantique/activite/ANN-07.pdf voir à partir de la p. 13

@+

[EDIT] pour l'instant, ça semble coller avec ce que j'avais fait...
Bizarre....

Dernière modification par yoshi (15-01-2014 12:07:01)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Intégrales

Bonjour,

Me revoilà.
Je pense avoir trouvé mon erreur...
J'ai mal interprété la formulation de l'énoncé : quand j'ai calculé la dérivée [tex]\frac{dA}{dh}[/tex], j'ai interprété cela comme étant la réponse...
Or, la vitesse de montée de l'eau dans le système SI (ou MKSA) s'exprime en m/s c'est [tex]\frac{dh}{dh}[/tex] ret le débit, variation de volume en fonction du temps, est [tex]D_b=\frac{dA}{dt}[/tex]  en  [tex]m^3/s[/tex]...
Débit : (variation du volume par rapport à la variation de hauteur) * (variation de hauteur en fonction du temps)
ce que le lien note :
[tex]D_b=\frac{dA}{dt} =\frac{dA}{dh}\times \frac{dh}{dt}[/tex]

Étant donné que mes formules de calcul de volumes sont justes, j'ai donc :
[tex]D_b= \frac{\pi R^2}{a^2}(a-h)^2[/tex]
D'où
[tex]vitesse = \frac{dh}{dt}= \frac{a^2.D_b}{\pi R^2(a-h)^2)}[/tex]

Question subsidiaire : j'avais mal lu.
Il ne s'agit pas de la moitié du volume mais de la moitié de la hauteur.
Volume en partant du sommet.
r=R/2, h=a/2
D'où
[tex]A_S=\frac{\pi R^2 a}{3\times 4 \times 2}=\frac{\pi R^2 a}{24}[/tex] (à partir du sommet : petit côre)

[tex]A_B=\frac{\pi R^2 a}{3}-\frac{\pi R^2 a}{24} = \frac{7\pi R^2 a}{24}[/tex] (à partir de la base : tronc de cône)
J'appelle
T le temps nécessaire au remplissage du réservoir conique : [tex]\frac{\pi R^2 a}{3D_b}[/tex]
t le temps nécessaire au remplissage du tronc de cône      : [tex]\frac{7\pi R^2 a}{24D_b}[/tex]
[tex]\frac{t}{T}=\frac{\frac{7\pi R^2 a}{24D_b}}{\frac{\pi R^2 a}{3D_b}}=\frac{7}{8}[/tex]

Ce qui confirme ce que j'écrivais quand j'avais lu la question subsidiaire avec moitié du volume....
Ici, l'un des volumes est les 7/8 du total, le temps de remplissage à débit constant est les 7/8 du temps total.
Dans le cas de mon erreur de lecture, j'avais supputé moitié du temps pour moitié du volume...

@+

Roulet

Invité

Re : Intégrales

Bonjour,

J'ai un problème dont j'ai du mal à me démêler...
Voilà j'ai une installation avec pleins de tuyauterie (fermé en bout). La pression à l'intérieur est <10mb. La longueur va varier suivant les installations.
Maintenant je souhaite introduire de l'air par un point d'entrée (ouverture vanne diamètre 50mm).
J'aimerais calculer le temps qu'il faudrait pour arriver à une pression atmosphérique dans toute la tuyauterie donc une P° ext = P° int