Forum de mathématiques - Bibm@th.net

nulenalgebre

Invité

Projection orthogonal

J'ai ce théorème un peux compliqué

Supposons que [tex]U[/tex] soit un voisinage de [tex] \theta[/tex] dans un espace de Hilbert [tex]H[/tex] et que [tex]f\in C^2\left(U,\mathbb{R}^1\right)[/tex]. Supposons que [tex]\theta[/tex] soit un point critique de [tex]f[/tex] et que [tex]A=d^2 f(\theta)[/tex] avec [tex]N[/tex] pour noyau. Si [tex]0[/tex] est un point isolé du spectre [tex]\sigma(A)[/tex] ou n'appartient pas à [tex]\sigma(A)[/tex], alors il existe une boule [tex]B_\delta[/tex] de rayon [tex]\delta>0[/tex]$ centrée en [tex]\theta[/tex], un homéomorphisme local [tex]\phi[/tex] défini sur [tex]B_\delta[/tex] qui préserve l'origine de cette boule et une application [tex]h\colon B_\delta \cap N \to N^\perp[/tex] de classe [tex]C^1[/tex] tels que

[tex]\forall x\in B_\delta,\ f\circ\phi(z+y)=\dfrac 12 (Az,z)+f(h(y)+y)[/tex]

où [tex]y=P_Nx[/tex] et [tex]z=P_{N^\perp}x[/tex], [tex]P_N[/tex] étant la projection orthogonale sur le sous-espace [tex]N[/tex].

et pour la preuve ils disent ça :
On décompose [tex]H[/tex] en [tex]N\oplus N^\perp[/tex], on a [tex]d_z f(\theta_1+\theta_2)=\theta_1, (\theta_1=P_{N^\perp}\theta, \theta_2=P_N \theta)[/tex]

et je ne comprend pas pourquoi on a ça ?

Merci