Forum de mathématiques - Bibm@th.net

magy

Invité

relation d'ordre

bonsoir,
voila,je coince sur ceci:
Soit(E,<ou égal) un ensemble ordonné.On définit sur P(E)\{0},la relation T par xTy ssi(X=Y ou x appartient à X et y appartient à Y x<ouégal à y)
Vérifier que T est une relation d'ordre.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : relation d'ordre

Bonjour,

  Pour démontrer que c'est une relation d'ordre, il n'y a pas le choix. Il faut démontrer qu'il s'agit d'une relation réflexive, antisymétrique et transitive.

* elle est réflexive, ie pour tout [tex]X\in\mathcal P(E)\backslash\{0\}[/tex], [tex]XTX[/tex] : je crois que c'est assez facile pour que tu y arrives seul.
* elle est antisymétrique : prenons [tex]X,Y\in\mathcal P(E)\backslash\{0\}[/tex] tels que [tex]XTY[/tex] et [tex]YTX[/tex] et prouvons
que [tex]X=Y[/tex]. Si quand on applique la définition de [tex]XTY[/tex] ou [tex]YTX[/tex], on a directement [tex]X=Y[/tex], il n'y a rien à prouver. Sinon, c'est que :
[tex]\forall x\in X,\forall y\in Y, alors x\leq y\textrm{ et }y\leq x[/tex]
Mais puisque [tex]\leq[/tex] est une relation d'ordre, on en déduit que [tex]x=y[/tex], et donc que pour tout [tex]x\in X[/tex], [tex]x=y\in Y[/tex] et réciproquement, que pour tout [tex]y\in Y[/tex], [tex]y=x\in X[/tex]. Ainsi, [tex]X=Y[/tex].
* elle est transitive : prenons [tex]X,Y,Z\in\mathcal P(E)\backslash\{0\}[/tex] tels que [tex]XTY[/tex] et [tex]YTZ[/tex] et prouvons
que [tex]XTZ[/tex]. C'est plutôt plus facile.... viens nous dire si tu bloques!

Fred.