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David

Invité

Matrices

Bonjour à tous

Voici un petit exercice dont un petit coup de pouce serrent le bienvenu

Soit (a, b) ∈ R*×R. Trouver toutes les matrices réelles qui commutent (produit) avec A = ( a     b )
                                                                                                                                      ( 0    a )

Merci

David

Yassine

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Re : Matrices

Bonjour,
Avez-vous essayé de prendre une matrice quelconque [tex]X=\left( \begin{array}{cc}
x & z \\
y & t \end{array} \right)[/tex] et d'écrire le fait que la matrice [tex]A[/tex] commute avec [tex]X[/tex], à savoir [tex]A \times X = X \times A[/tex] et de développer les calculs ?

freddy

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Re : Matrices

Hello,

pour ne pas laisser la question de David (Hilbert ? :-)) en plan, la réponse, donnée implicitement par Yassine et qui peut servir à d'autres, s'obtient comme suit.

[tex]  A\times X = X \times A \Leftrightarrow \begin{pmatrix} ax+bz & ay+bt \\ az & at \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax & bx+ay \\ az & bz+at \end{pmatrix} [/tex]

en identifiant terme à terme, on a :

[tex] \begin{cases} ax+by=ax \\ ay+bt = bx+ay \\ az=az \\ at=bz+at \end{cases} [/tex]  soit  [tex] \begin{cases} bz=0 \\ b(t -x)=0  \end{cases} [/tex]

Donc si [tex]b=0 [/tex], alors  x, y, z et t sont quelconques, et si [tex] b \ne 0 [/tex], alors [tex] z = 0 [/tex] et [tex] t=x [/tex]

totomm

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Re : Matrices

Bonjour,

Attention : Yassine a proposé la matrice [tex]X=\left( \begin{array}{cc} x & z \\ y & t \end{array} \right)[/tex] alors que freddy a utilisé la matrice [tex]X=\left( \begin{array}{cc} x & y \\ z & t \end{array} \right)[/tex]

Il convient donc de retenir le résultat : Le produit de matrices de la forme [tex]X=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & a \end{array} \right)[/tex] est un produit commutatif donnant une matrice de même forme.