Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

[tex]\varphi'[/tex] est indéfiniment dérivable, mais la fonction que tu considères est
[tex]x\mapsto x\varphi'(\xi_x)[/tex] (j'ai volontairement écrit [tex]\xi_x[/tex] pour bien marquer que cela dépend de [tex]x[/tex]).

Et qu'est-ce qui te dit que la dépendance [tex]x\mapsto \xi_x[/tex] est régulière?????

dh8

Invité

Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

quand on parle de [tex]\xi_x[/tex] c'est pour parler d'un nombre entre 0 et [tex]x[/tex]. En fait, je ne voit pas très bien ce qu'exprime la dépendance [tex]x->\xi_x[/tex] ce n'est donc pas une constante mais une fonction??!
merci de m'éclairer sur ca, j'ai vraiment besoin de votre aide pour comprendre ce point.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

C'est une fonction de x... Si x change de valeur, [tex]\xi_x[/tex] change de valeur, et si tu veux dire que [tex]x\mapsto \varphi'(\xi_x)[/tex] est indéfiniment dérivable, il faut bien que tu saches comment se comporte [tex]x\mapsto \xi_x[/tex].

dh8

Invité

Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

donc [tex]\varphi'(\xi_x)[/tex] est une composée de deux fonctions: [tex]\varphi'[/tex] qui est indéfiniment differentiable, et [tex]\xi_x[/tex] dont on ne connait rien. C'est exactement ca?
Et comment vous avez su directement que c'est le developpement avec reste intégrale qui fera l'affaire et pas un autre? est-ce qu'il y'a d'autres possibilités?

dh8

Invité

Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

Je vais regroupé mes deux dernières questions ici:

1- est-ce qu'il y' a mieux que le reste intégral? ou bien on doit y penser directement?

2- pour montrer que la limite de [tex]\displaystyle\int_{\epsilon}^R x^{\alpha+1} g(x) dx[/tex] existe, est-ce qu'on peut dire que [tex]x^{\alpha+1} g(x)[/tex] est continue sur le compact [tex][\epsilon,R][/tex], alors elle est bornée?

3- On ne connait pas la régularité de [tex]\varphi(\xi_x)[/tex] mais en général, c'est toujours correcte de la majorer ainsi: [tex]|\varphi'(\xi_x)| \leq \sup_{x\in K} |\varphi'(x)[/tex]?

Merci beaucoup pour l'aide.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

Je vais regroupé mes deux dernières questions ici:

1- est-ce qu'il y' a mieux que le reste intégral? ou bien on doit y penser directement?

Pas mieux que le reste intégral

2- pour montrer que la limite de [tex]\displaystyle\int_{\epsilon}^R x^{\alpha+1} g(x) dx[/tex] existe, est-ce qu'on peut dire que [tex]x^{\alpha+1} g(x)[/tex] est continue sur le compact [tex][\epsilon,R][/tex], alors elle est bornée?

Non car ta borne va dépendre de [tex]\epsilon[/tex], donc tu as
[tex]\int_{\epsilon}^R |x^{\alpha+1} g(x)| dx\leq M(\epsilon)[/tex] et ensuite tu fais tendre [tex]\epsilon[/tex] vers 0.
On ne peut a priori rien dire du comportement de [tex]M(\epsilon)[/tex].

3- On ne connait pas la régularité de [tex]\varphi(\xi_x)[/tex] mais en général, c'est toujours correcte de la majorer ainsi: [tex]|\varphi'(\xi_x)| \leq \sup_{x\in K} |\varphi'(x)[/tex]?

Merci beaucoup pour l'aide.

Oui, c'est correct.

dh8

Invité

Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

Pour 2), on utilise le fait que "une fonction continue sur un compact est bornée" seulement et uniquement quand les bornes sont des nombres finies. Sinon, si les bornes ne sont pas finies 'comme ici avec [tex]\epsilon[/tex], alors il est faux d'utiliser cette règle. C'est bien ca?

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

Non, ce n'est pas cela. Ta fonction est bien bornée sur [tex] [\epsilon,R] [/tex], mais ta majoration dépend de [tex]\epsilon[/tex], ce qui ne t'aide pas si tu fais tendre [tex]\epsilon[/tex] vers 0.
Je te donne un exemple. La fonction [tex]\frac 1x[/tex] est bornée sur [tex] [\epsilon,1] [/tex] pour tout [tex]\epsilon>0 [/tex]. On appelle la borne [tex] M(\epsilon) [/tex]. Ainsi, on a
[tex]\int_{\epsilon}^1 \frac 1tdt\leq M(\epsilon) [/tex].
Et pourtant, si tu fais tendre [tex]\epsilon [/tex] vers 0, le membre de gauche tend vers [tex]+\infty [/tex].

F.

dh8

Invité

Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

Merci infiniment pour toutes ces explications très claires.

dh8

Invité

Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

Après une nuit, j'y repense à cette intégrale [tex]\displaystyle\int_{\epsilon}^R x^{\alpha+1}g(x)dx[/tex]. On ne peut pas dire que ce qu'il y'a à l'intérieur de l'intégrale est borné, donc la limite existe. Mais, ce que finalement je n'arrive pas à comprendre, c'est l'idée utilisée pour montrer l'existence de cette intégrale.
Pourquoi faire des suppositions sur g(0)? Si [tex]g(0) \neq  0[/tex] ou bien [tex]g(0)=0[/tex]? C'est quoi l'énchainement logique et naturel de l'idée utilisée pour montrer que la limite existe?
Merci beaucoup.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

Mais ce qu'il y a à l'intérieur de l'intégrale n'est pas bornée.... ([tex]\alpha+1[/tex] peut très bien être strictement négatif).

dh8

Invité

Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

Je ne comprend pas.. Quand g(0) n'est pas égal à 0 alors on dire que [tex]x^{\alpha +1}[/tex] est borné. Non? Pouvez-vous m'expliquer cette partie svp.
Merci beaucoup

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

Si [tex]\alpha=-3/2[/tex], l'intégrale [tex]\int_{\epsilon}^{1}x^{\alpha+1}dx[/tex] n'admet pas de limite quand [tex]\epsilon[/tex] tend vers 0. Et cette fonction n'est pas bornée au voisinage de 0.

F.

dh8

Invité

Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

mais on a distingué les cas selon g(0). Pourquoi?

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

Parce que si [tex]g(0)=0[/tex], c'est plus facile de prouver la convergence de l'intégrale (le fait que g(0)=0 fait que
[tex]x^{\alpha+1}g(0)[/tex] est moins gros en 0.

dh8

Invité

Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

Si [tex]g(0)\neq 0[/tex], alors [tex]x^{\alpha+1} g(x)[/tex] est équivalente au voisinage de zéro à [tex]x^{\alpha+1}g(0)[/tex], donc l'intégrale devient égale à [tex]g0)[\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+2}]_{\epsilon}^n[/tex] qui est fini.

Si g(0)=0. Qu'est ce qu'on dit exactement dans ce cas s'il vous plait?

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

Si [tex]g(0)\neq 0[/tex], alors [tex]x^{\alpha+1} g(x)[/tex] est équivalente au voisinage de zéro à [tex]x^{\alpha+1}g(0)[/tex], donc l'intégrale devient égale à [tex]g0)[\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+2}]_{\epsilon}^n[/tex] qui est fini.

Mais tu t'en fous que cette quantité là soit finie. Tu t'intéresses à son comportement quand [tex]\epsilon[/tex] tend vers 0!!!!!!!!!!
Et ca tend vers l'infini si [tex]\alpha=-3/2[/tex] par exemple!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Si [tex]g(0)=0[/tex] et disons pour simplifier [tex]g'(0)\neq 0[/tex], alors [tex]g(x)\sim_0 g'(0)x[/tex] et cette fois, quand tu as fini d'intégrer,
tu récupères non pas [tex]\epsilon^{\alpha+1}[/tex] mais [tex]\epsilon^{\alpha+2}[/tex]. Et cette quantité tend cette fois vers 0 lorsque [tex]\epsilon[/tex] tend vers 0!!!!!!!!!!!

dh8

Invité

Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

Pardon d'abuser de votre patience, mais juste ce dérnier point. On doit regarder si cette intégrale existe quand [tex]\epsilon[/tex] tend vers 0.
Pour ca, si [tex]g(0)=0[/tex] alors pas de problème. Et si [tex]g(0)\neq 0[/tex]? Qu'est ce qu'on dit? et comment on devine qu'il faut distinguer ces deux cas?

dh8

Invité

Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

Bon.
Si [tex]g(0)\neq 0[/tex], alors on a: [tex]g(x)[/tex] équivaut au voisinage de zéro à [tex]g(0)[/tex], et donc [tex]g(x) x^{\alpha+1}[/tex] es équivalent au voisinage de zéro à [tex]g(0) x^{\alpha+1}[/tex] et donc l'intégrale est égale à [tex]g(0)[\dfrac{x^{\alpha+2}}{\alpha+2}]_{\epsilon}^n[/tex]

Si [tex]g(0)=0[/tex], alors [tex]g(0)[/tex] équivaut au voisinage de zéro à [tex]g'(0)x[/tex].

C'est ca les deux cas qu'il faut distinguer et le raisonnement à suivre?
Merci beaucoup.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

En gros oui...