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dh8

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incompréhension d'une solution d'un exercice

Bonsoir
dans l'un des exercices que vous avez proposé dans la partie exercices sur les distributions, il y'a l'exercice suivant:
Pour [tex]-1 < \alpha < -1[/tex], prouver que pour tout [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex], on a [tex]\displaystyle\int_{\epsilon} x^{+\infty} x^{\alpha} \varphi(x) dx = A \epsilon^{\alpha +1} + R_{\epsilon}[/tex]
où [tex]A[/tex] ne dépend pas de [tex]\varphi[/tex] et ne dépend pas de [tex]\epsilon[/tex], et [tex]R_{\epsilon}[/tex] admet une limite quand [tex]\epsilon -> 0[/tex].

Pour ca, vous utilisez le développement de Taylor avec reste intégrale: [tex]\varphi(x)=\varphi(0) + x g(x)[/tex] avec [tex]g\in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex]
Pourquoi on peut avoir ce développement? Je ne le trouve pas dans le cours. Puis, pourquoi [tex]x^{\alpha +1} g(x)[/tex] est équivalemente à [tex]\dfrac{g(0)}{x^{\alpha +1}}[/tex]?

Dans la question 2): on pose [tex]<pf(x^{\alpha}),\varphi> = \lim_{\epsilon -> 0} R_{\epsilon}[/tex]. Que veut dire [tex]x^{\alpha}_+[/tex]?

Merci par avance pour l'aide.

dh8

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Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

pour ma question 2), c'est on pose [tex]<pf(x^{\alpha}_+,\varphi>=\lim_{\epsilon -> 0} R_{\epsilon}[/tex]. Que veut dire [tex]x_+^{\alpha}[/tex]?
Merci par avance pour l'aide.

Fred

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Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

Salut,

  Je commence par ta deuxième question, car c'est le plus facile : [tex]x_+^\alpha[/tex] vaut [tex]x^\alpha[/tex] si x est positif, et 0 si x est négatif...

F.

dh8

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Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

et pour la question 1? s'il vous plait.

Fred

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Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

Bon, je viens de relire le corrigé et ce n'est pas clair, et en plus il y a des choses non correctes.

D'abord, on peut écrire [tex]\phi(x)=\phi(0)+xg(x)[/tex] où [tex]g[/tex] est de classe [tex]C^\infty[/tex], mais pas forcément [tex]g[/tex] à support compact. Cela est une conséquence de la formule fondamentale du calcul intégral :
[tex]\phi(x)=\phi(0)+\int_0^x\phi'(t)dt=\phi(0)+x\int_0^1 \phi'(ux)du[/tex] avec le changement de variables [tex]t=ux[/tex]. L'intégrale qui apparait définit une fonction [tex]C^\infty[/tex] de x.

Pour l'équivalent, il n'y a pas de quotient et cela ne fonctionne que si [tex]g(0)\neq 0[/tex]. Dans ce cas, en zéro, on a
[tex]g(x)\sim_0 g(0)[/tex] et donc [tex]g(x)x^{\alpha+1}\sim_0 g(0)x^{\alpha+1}[/tex]

Si [tex]g(0)=0[/tex], pour dire que l'intégrale converge lorsque [tex]\varepsilon\to 0[/tex], il suffit de dire que [tex]g[/tex] est majorée au voisinage de 0.

Fred.

dh8

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Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

S'il vous plait, avez vous une méthode simple pour répondre à cette question? Je vous remercie par avance pour l'aide.

Fred

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Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

A quelle question?

dh8

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Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

à la question 1, et la question 2 je ne sais pas très bien comment il faut raisonner. Et en quoi le fait que [tex]<Pf(x^{\alpha_+},\varphi>[/tex] s'écrive sous forme de limite, nous aide à montrer qu'elle est une distribution d'ordre 1? et pourquoi avoir choisis [tex]x^{\alpha}_+[/tex] et pas juste [tex]x^{\alpha}[/tex]?

Fred

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Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

Parce que tu veux montrer que cela a un sens (que l'intégrale converge d'une certaine façon), ce qui n'est pas clair.
Et tu veux la majorer par la norme infinie de [tex]\phi'[/tex]

Mais il n'y a pas de preuve très facile à l'existence de la partie finie.

et pourquoi avoir choisis [tex]x^{\alpha}_+[/tex] et pas juste [tex]x^{\alpha}[/tex]?

Tu définis comment [tex]x^{\alpha}[/tex] si [tex]x<0[/tex] et [tex]-2<\alpha<-1[/tex]?

dh8

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Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

On commence par la question 1 pour que tout soit clair.
On a par la formule fondamental de calcul intégral, que: [tex]\varphi(x)=\varphi(0)+x g(x)[/tex] où [tex]g[/tex] est une fonction de classe [tex]\mathcal{C}^{\infty}[/tex]. Soit [tex]n>0[/tex] tel que le support de [tex]\varphi[/tex] est inclus dans [tex][-n,n][/tex]. On a:
[tex]\displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} x^{\alpha} \varphi(x) dx = \displaystyle\int_{\epsilon}^n x^{\alpha} \varphi(0) dx + \displaystyle\int_0^n x^{\alpha + 1} g(x) dx[/tex].

D'un coté, [tex]\displaystyle\int_{\epsilon}^n x^{\alpha} \varphi(0) dx = \varphi(0) \dfrac{n^{\alpha +1}}{\alpha +1} - \varphi(0) \dfrac{\epsilon^{\alpha + 1}}{\alpha +1}[/tex].4

D'un autre coté, si [tex]g(0) \neq 0[/tex], alors au voisinage de 0, on a [tex]g(x)[/tex] équivalente à [tex]g(0)[/tex] au voisinage de 0, donc [tex]g(x) x^{\alpha + 1}[/tex] est équivalente au voisinage de zéro à [tex]g(0)x^{\alpha +1}[/tex]. Ainsi, [tex]\displaystyle\int_0^n x^{\alpha +1} x^{\alpha +1} g(x) dx[/tex] est équivalent à [tex]\displaystyle\int_0^n g(0) x^{\alpha +1} dx[/tex].
Quand une intégrale est équivalente à une intégrale qui converge, on dit que elle aussi converge.

Si [tex]g(0)\neq 0[/tex], il suffit de dire que [tex]g[/tex] est majorée au voisinage de 0.

Mes questions sont:
1- Donc la formule [tex]\varphi(x)=\varphi(0) + x g(x)[/tex] n'est pas une conséquence du développement de Taylor avec reste intégrale?
2- Comment on montre que [tex]g[/tex] est majorée au voisinage de 0?
Merci par avance pour l'aide.

Fred

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Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

1. Si, c'est une conséquence de la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre 1. Mais à l'ordre 1, cette formule n'est rien d'autre que de dire que l'intégrale de [tex]\phi'[/tex] entre 0 et x est [tex]\phi(x)-\phi(0)[/tex].

2. [tex]g[/tex] est continue sur [tex] [-1,1] [/tex] donc elle est bornée sur ce segment.

F.

dh8

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Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

C'est ok pour la question 1). Il me reste la question 2). Merci de m'aider je vous prie.  On pose [tex]< Pf(x^{\alpha}_+),\varphi>=\lim_{\epsilon -> 0} R_{\epsilon}[/tex] où [tex]R_{\epsilon}=\varphi(0) \dfrac{n^{\alpha}+1}{\alpha +1} + \displaystyle\int_{\epsilon}^n x^{\alpha +1} g(x) dx[/tex].

Pour montrer que [tex]Pf(x^{\alpha}_+[/tex] est une distribution, on a que [tex]Pf(x^{\alpha}_+[/tex] est une application bien définie, puisque pour tout [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}[/tex], la limite de [tex]R_{\epsilon}[/tex] existe.
La linéarité est claire.
Il reste la continuité de [tex]Pf(x^{\alpha}_+)[/tex]. Soit [tex]K=[-n,n][/tex] un compact, et soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}_K(\mathbb{R})[/tex].
[tex]|<T,\varphi> \leq |\varphi(0) \dfrac{n^{\alpha +1}}{\alpha +1}| + |\displaystyle\int_0^n x^{\alpha +1} g(x) dx|[/tex]

1- Comment on finie la majoration pour obtenir la continuité?
2-  Je ne comprend pas pourquoi il faut considérer [tex]Pf(x^{\alpha}_+)[/tex] et pas [tex]Pf(x^{\alpha})[/tex].
Merci pour l'aide.

Fred

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Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

1. Comme je l'écris dans la correction, il suffit de remarquer que
[tex]|g(x)|\leq \|\phi'\|_\infty [/tex] (c'est une simple application de l'inégalité des accroissements finis).

Tu as alors prouvé que
[tex]| \langle T,\phi\rangle |\leq C_K (\|\phi\|_\infty+\|\phi'\|_{\infty} [/tex]

2. Je t'ai déjà expliqué dans un post précédent que [tex] x^\alpha [/tex] n'a en général pas de sens si [tex]x<0[/tex]. On ne pourrait donc pas donner de sens à [tex]\int_{-\infty}^{-\veps}x^\alpha \phi(x)dx[/tex]. En prenant [tex]x_+^\alpha [/tex], on se fiche de ce qui se passe pour les réels négatifs.

F.

dh8

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Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

Donc, pour la continuité on a ceci: on a par la formule de Taylor avec reste intégrale: [tex]|g(x)| = |\dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}| = |\varphi'(0)|[/tex]. Ainsi,
[tex]|<t,\varphi> \leq \dfrac{n^{\alpha +1}}{\alpha +1} \sup_{x\in K} |\varphi(x)| + \dfrac{n^{\alpha +2}}{\alpha +2} \sup_{x\in K }|\varphi'(x)| \leq C_K P_{K,1}(\varphi)[/tex].
On en déduit que [tex]T[/tex] est une distribution sur [tex]\mathbb{R}[/tex] d'ordre inférieur ou égal à 1.

1- Pourquoi vous dite appliquer l'inégalité des accroissements finis?
2- Ca ne dérange pas que la constante dépende de K?
2-quand [tex]x[/tex] est négatif et avec [tex]\alpha[/tex] négatif, alors [tex]x^{\alpha}[/tex] reste négatif. Pouvez-vous me donner un exemple je vous prie, ou n'importe quoi qui montre que l'écriture [tex]Pf(x^{\alpha})[/tex] est fausse et n' a aucun sens? Parce que vraiment, je n'arrive pas à le voir. Je vous remercie d'avance.

Fred

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Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

Donc, pour la continuité on a ceci: on a par la formule de Taylor avec reste intégrale: [tex]|g(x)| = |\dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}| = |\varphi'(0)|[/tex].

Ouh là non!!!!!

On n'a pas  [tex]|g(x)| = |\dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}| = |\varphi'(0)|[/tex]. C'est la limite du taux d'accroissement qui vaut la dérivée, d'où la nécessité d'utiliser l'inégalité des accroissements finis.

2- Ca ne dérange pas que la constante dépende de K?

Pas du tout.

2-quand [tex]x[/tex] est négatif et avec [tex]\alpha[/tex] négatif, alors [tex]x^{\alpha}[/tex] reste négatif. Pouvez-vous me donner un exemple je vous prie, ou n'importe quoi qui montre que l'écriture [tex]Pf(x^{\alpha})[/tex] est fausse et n' a aucun sens? Parce que vraiment, je n'arrive pas à le voir. Je vous remercie d'avance.

Quel sens donnes-tu à [tex](-\pi)^{-\sqrt 2}[/tex]??? Pour moi, à part quand [tex]\alpha[/tex] est entier,
[tex]x^{\alpha}=\exp(\alpha\ln x)[/tex] et je ne sais pas donner un sens à [tex]\ln x[/tex] si [tex]x<0[/tex].

F.

dh8

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Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

[tex](-\pi)^{-\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\pi^{\sqrt{2}}}[/tex]. Non?
et par votre second exemple, on comprend que [tex]x^{\alpha}[/tex] n'a pas de sens si [tex]x[/tex] est négatif, car [tex]x^{\alpha}[/tex] s'écrit par [tex]e^{\alpha \mn x}[/tex] et il n'est pas défini quand [tex]x<0[/tex].

dh8

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Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

deuxième question: pour la question 1 de l'exercice, c'est juste de considérer simplement que [tex]\varphi[/tex] s'écrit [tex]\varphi(x)=\varphi(0) + x \varphi'(x)[/tex] où [tex]c \in ]0,x[[/tex] par le théorème des accroissements finis?

dh8

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Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

Et dernière question: on a utilisé dans la réponse à la question 1), le developpement de Taylor de [tex]\varphi[/tex] au voisinage du point zéro, mais et si [tex]\varphi[/tex] n'était pas définie au point zéro? (puisqu'elle doit etre quelconque).

dh8

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Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

Une dérnière chose: vous avez dis que g est bornée sur le segment [-1,1]. Pourquoi avoir choisis le segment [-1,1]??
et merci beaucoup pour l'aide.

dh8

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Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

Aidez-moi je vous prie. On a [tex]\varphi(x)=\varphi(0) + x g(x)[/tex] ce qui implique que [tex]|g(x)|=\dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}[/tex] comment se retrouve-t-on avec l'inégalité [tex]$|g(x)|\leq |\dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x} \leq ||\varphi||_{\infty}|[/tex]?

Fred

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Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

Et dernière question: on a utilisé dans la réponse à la question 1), le developpement de Taylor de φ au voisinage du point zéro, mais et si φ n'était pas définie au point zéro? (puisqu'elle doit etre quelconque).

Je ne comprends pas... [tex]\varphi[/tex] est toujours définie sur [tex]\mathbb R[/tex]

Une dérnière chose: vous avez dis que g est bornée sur le segment [-1,1]. Pourquoi avoir choisis le segment [-1,1]??
et merci beaucoup pour l'aide.

N'importe quel segment contenant 0 dans son intérieur convenait, puisque je voulais juste dire que [tex]g[/tex] est bornée au voisinage de 0.

Aidez-moi je vous prie etc....

Il manque une dérivée dans ta dernière inégalité, et c'est exactement l'inégalité des accroissements finis, modulo que tu écrives [tex] |x|=|x-0| [/tex].

dh8

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Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

on a exactement: [tex]|g(x)|=|\dfrac{\varphi(x) - \varphi(0)}{x} \leq \sup |\varphi '(x)||[/tex] et c'est tout.

pour la question 1 de cet exercice: pourquoi est-ce qu'on ne peut pas se contenter d'utiliser le developpement de Taylor pour [tex]\varphi(x)[/tex] au voisinage de 0? C'est-quoi l’intérêt d'utiliser le reste intégrale?

et pour confirmer, on peut dire que [tex]x^{\alpha}[/tex] pour [tex]x<0[/tex] n' a aucun sens car [tex]\ln x[/tex] n'est pas définie pour [tex]x<0[/tex]

dh8

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Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

pour la question 1, pourquoi ce n'est pas suffisant de considérer le developpement de Taylor d'ordre 1? à quoi ca sert de considérer le reste intégrale?

Fred

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Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

Qu'est-ce que tu appelles le développement de Taylor d'ordre 1???
La formule avec reste intégral sert quand on veut obtenir de la régularité sur le reste (ici, qu'il est indéfiniment dérivable).
Avec les autres formules de Taylor, on n'obtient pas ce genre d'informations.

F.

dh8

Invité

Re : incompréhension d'une solution d'un exercice

Si on écrit que le developpement de Taylor de [tex]\varphi[/tex] d'ordre 1 au voisinage de 0, on obtient: [tex]\varphi(x)=\varphi(0)+x \varphi'(\xi)[/tex] où [tex]\xi \in ]0,x[[/tex] alors le g(x) est en fait [tex]\varphi'(\xi)[/tex]. Et [tex]\varphi'[/tex] est indéfiniment dérivale lui aussi. de plus, il est possible de majorer [tex]\varphi'(\xi)[/tex] par [tex]\sum |\varphi'(x)[/tex]. Pourquoi ca n'est pas possible?