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David

Invité

Centre de gravité d'un cylindre

Bonjour,

J'ai un problème à résoudre et je n'arrive pas a savoir par où débuter.
Un récipient est cylindrique, de hauteur H (mètres), d’aire de base S (m2) et de masse M (kg) à vide.
Il peut contenir une certaine quantité de liquide, de masse volumique ρ (kg.m-3), repérée par la cote h de sa surface (h ∈ [0 ; H], en mètres). La masse de liquide présente sera notée m (kg).
L’objet de cet exercice est de s’intéresser à la cote yG du centre de gravité de l’ensemble [récipient + liquide], en fonction de la cote h de la surface du liquide. Plus précisément, les figures ci-dessous montrent que yG n’est pas constant (suivant la quantité de liquide dans le récipient) et qu’il doit exister au moins une valeur de h pour laquelle yG est le plus faible possible.

yG1 : cote du centre de gravité du récipient seul ; yG2 : cote du centre de gravité du liquide seul.

On admettra que Yg = (M x YG1) + (m x YG2) / (M+m)
******************************
1) Déterminer pour quelle valeur de h le centre de gravité G est le plus bas possible.
2) Quelle est la particularité de cette solution ?
3) Fairel’applicationnumériquesuivante:H=0,1m;S=0,01m2 ;M=1kg;ρ=1000kg.m-3.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Centre de gravité d'un cylindre

Bonjour,

Quelle profusion de lettres...
C'est un problème de Physique, pas de Maths, si ?
La masse m du liquide s'obtient par Volume * masse volumique, le volume est celui d'un cylindre de même base que le cylindre de départ et de hauteur h.
D'où m = V*p = S*h*p = Sph...
Le liquide étant supposé homogène, son centre de gravité est, pour moi, situé à h/2.
De même pour le cylindre seul, si je suppose sa base immatérielle (!!) son centre de gravité serait situé à H/2...
Petit point de "détail" : les parenthèses qui figurent sur ta formule sont inutiles, priorité des opérations oblige...
Donc on a
Y_G  = M * Y_G1 + m* Y^G2/(M + m).

Du coup, il doit manquer une paire de parenthèses parce que là, ça donne ça :
[tex]Y_G=M\times Y_{G_1}+\frac{m\times Y_{G_2}}{M+m}[/tex]
alors que selon moi, c'est plutôt :
[tex]Y_G=\frac{M\times Y_{G_1}+m\times Y_{G_2}}{M+m}[/tex]
ce qui correspond à : Y_G  = (M * Y_G1 + m* Y_G2)/(M + m)
Et ces parenthèses servent à quelque chose cette fois...

Tu devrais obtenir quelque chose du genre :
[tex]\frac{ah^2+b}{ch+d}[/tex] avec a, b, c, d strictement positifs.
Tu calcules la dérivée qui donne au dénominateur un trinôme de 2nd degré  qui a deux racines disons h1 et h2 respectivement négative et positive. Et entre les deux tu as la valeur interdite que j'appelle i, et la valeur 0...
Ton tableau de variation ressemble à ça :

h       |-oo     h1      i    0     h2   H +oo|
--------|--------|-------||---|-----|---------|      
Y'      |   +    0   -   ||   -     0    +    |
--------|--------|-------||---|-----|---------|    
        |    /   |  \    ||   \     |    /    |
Y       |   /    |   \   ||    \    |   /     |
        |  /     |    \  ||     \   |  /      |

Tu vois que  Y croît entre -oo et h1 de h1 à i,  décroît, décroît de i à h2, recroît de h2 à +oo
Il y a donc un maximum en h1 et un minimum en h2.
La partie qui t'intéresse est comprise entre 0 et H : il y a donc décroissance de 0 à h2, croissance de h2 à H et on passe par un minimum.

J'ai fait les calculs, mais je ne vois pas la réponse à la 2e question...
Je vais voir avec l'application numérique si ça me donne une idée...

@+

David

Invité

Re : Centre de gravité d'un cylindre

Bonjour et merci pour ce début de réponse.

En effet j'ai mal mis les (...) et nous avons bien (MYg1+mYg2)/(M+m)

Par contre je n'arrive pas à retrouver le h^2, comment procède tu ?

merci

yoshi

Modo Ferox

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Re : Centre de gravité d'un cylindre

Salut,

Je pense que les 2 centres de gravité sont placés à Y_G1=H/2 et Y_G2= h/2...
Après
m = S * h * p d'où mY_G2 = S* h * p * h/2 = [tex]\frac {Sp}{2}h^2[/tex]

@+