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#1 07-07-2013 07:07:51
- Doko25
- Invité
Problème taux liés
Bonjour à tous,
Je suis bloqué sur un problème qui est le suivant
les extrémités d'un abreuvoir de 2.5 m de long sont en forme de triangle équilatérale de 50 cm de côté. On déserve de l'eau dans l'abreuvoir à raison de 0.15m³/minute ( mètre cube). A quelle vitesse monte le niveau de l'eau au moment ou celui-ci atteint 20cm.
Donc j'ai dV/dt = 0.15 m³/minute
****
****je cherche dh/dt lorsque h vaut 0.2m
le volume du prisme triangulaire V = (1/2 * c (c =côté) * h) * 5/2
je peux lier la hauteur et le côté par la relation suivante : h = c* (3^1/2)/2**c = 2h/ (3^1/2) .
j'arrive alors à la formule suivante : V = 1/2 * 2h/(3^1/2) * h * 5/2
= 5/2 * h² * 1/3^1/2
après derivation j'obtient : dV/dt = 5h/3^1/2*** dh/dt
en remplacant par les valeurs de l'ennoncé j'obtient : 0.15 * 3^1/2 = dh/dt = 0.2598
ce qui est faut .. je ne vois pas trop mon erreur mais il me semble que je n'integre pas la valeur 0.5 (base du triangle equilatéral) dans mon calcul. Je pense donc que l'erreur pourrait ce situé là.
Si quelqu'un a une idée ..merci
#2 07-07-2013 12:24:45
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 401
Re : Problème taux liés
Bonjour,
La hauteur du triangle équilatéral de côté a est [tex]\frac{a\sqrt 3}{2}[/tex], son aire est donc [tex]\frac{a^2\sqrt 3}{4}[/tex]
Ici [tex]a = 0,5 = \frac 1 2[/tex], donc Aire = [tex]\frac{\sqrt 3}{16}[/tex] en [tex]m^2[/tex].
Lorsque l'eau monte dans l'abreuvoir, le volume d'eau est contenu dans une forme qui est un prisme qui a pour bases un trapèze isocèle.
Pour une hauteur d'eau h, h est la hauteur du trapèze dont la grande base mesure 0,5 m et la petite base b une longueur à calculer qui dépend de h...
Le volume de cette eau à l'instant t [tex]V_t=\frac{(b+0,5)\times h}{2}\times 2,5[/tex]
Et on a [tex]\frac{AH'}{AH}=\frac{\frac b 2}{\frac 1 4}[/tex]
D'où [tex]2b = \frac{\frac{\sqrt 3}{4}-h}{\frac{\sqrt 3}{4}}[/tex]
et [tex]b = \frac{\sqrt 3 -4h}{2\sqrt 3}=\frac{3-4h\sqrt 3}{6}[/tex]
Hmmmm...
Si l'abreuvoir, contrairement à mon dessin est étroit en bas, évasé en haut, les calculs sont plus simples :
plus de trapèze, mais un triangle équilatéral et h est compté à partir du sommet A, d'où
[tex]h = \frac{b\sqrt 3}{2}[/tex] et [tex]b = \frac{2h\sqrt 3}{3}[/tex]
Aire du triangle : [tex] \frac{\frac{2h\sqrt 3}{3}\times h}{2}=\frac{h^2\sqrt 3}{3}[/tex]
Volume : [tex]\frac{h^2\sqrt 3}{3}\times \frac 5 2=\frac{5h^2\sqrt 3}{6}[/tex]
Tu choisis ton cas...
@+
Dernière modification par yoshi (07-07-2013 12:46:10)
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