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amatheur

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exo d'analyse réelle.

salut

Soit [tex]f:\,\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] deux fois dérivable, et [tex]f\,et\,f''[/tex] bornées. Notons[tex]{M}_{0}={\sup }_{\mathbb{R}}\left|f\right|\,\,et\,{M}_{2}={\sup }_{\mathbb{R}}\left|f''\right|[/tex]

1) Montrer que pour tout a strictement positif on a :
[tex]\left|f'\left(0\right)\right|\leq \frac{{M}_{0}}{a}{+\frac{{M}_{2}a}{2}}_{}[/tex]

2) Montrer que [tex]f'[/tex] est bornée et [tex]{\sup }_{\mathbb{R}}\left|\mathbb{f}\mathbb{'}\left(\mathbb{x}\right)\right|\leq \sqrt{2{M}_{0}{M}_{2}}[/tex]

pour la première question la meilleure majoration que j'ai pu obtenir est:
[tex]\left|f'\left(0\right)\right|\leq \frac{{2M}_{0}}{a}{+\frac{{M}_{2}a}{2}}_{}[/tex] en utilisant l'inégalité de Taylor-Lagrange.
pour la deuxieme question je bloque complétement, alors une petite indication est vraiment la bienvenue .
Merci

amatheur

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Re : exo d'analyse réelle.

re.

2)supposant que  f' n'est pas bornée, puisqu'elle est continue en chaque point, alors elle est bornée en chaque intervalle fermé, donc ce n'est qu'en infinie qu'elle ne peut etre bornée.
sans perte de généralités supposant que: [tex]lim_{ x\rightarrow+\infty}[/tex][tex]f'\left(x)\right)=+\infty [/tex], alors [tex]\forall m>0\,,\,\exists A>0\,,\,x>A\Rightarrow f'\left(x\right)>m[/tex]
et en intégrant on obtient [tex]f\left(x\right)>m\left(x-A\right)+f\left(A\right)\,pour\,tous\,x>A[/tex] ce qui contredit le fait que f est bornée, donc f' est bornée.