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zarga

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exercice

Salut
Soit [tex] h \in L^1(]0,1[).[/tex] On pose [tex] \langle T , \varphi \rangle = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{h(x)}{x} \varphi(x) dx[/tex] pour tout [tex]\varphi \in \mathcal{D}(]0,1[).[/tex]
comment prouver que l'intégrale [tex] \displaystyle\int_0^1 \dfrac{h(x)}{x} \varphi(x) dx[/tex]existe?
merci par avance.

Dernière modification par zarga (04-02-2013 23:30:03)

Fred

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Re : exercice

Salut,

  Si [tex]\varphi\in\mathcal D(]0,1[)[/tex], ceci signifie que [tex]\varphi[/tex] a un support compact dans l'intervalle [tex] ]0,1[ [/tex].
Autrement dit, il existe [tex]0<a<b<1[/tex] de sorte que le support de [tex]\varphi[/tex] soit inclus dans [tex] [a,b] [/tex].
Tu n'as donc pas de problème de convergence en 0. Pour montrer l'intégrabilité sur [a,b], il suffit de majorer :
[tex] \left |\frac{h(x)\varphi(x)}{x}\right|\leq \frac{\|\varphi\|_\infty}{a}|h(x)| [/tex]

F.