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#1 30-01-2013 15:47:39
- Natoandro
- Membre
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- Messages : 13
fermés d'un e.v.n.
Bonjour,
Vous pouvez m'aider?
Soient (E, ||.||) un e.v.n., A et B deux parties de E.
Montrer que si A et B sont fermés et si de plus l'application S de AxB dans E telle que S(x, y) = x + y est propre (c'est-à-dire que si K est compact alors son image réciproque par S est compact), alors A + B est fermé.
Merci d'avance.
Dernière modification par Natoandro (30-01-2013 15:49:44)
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#2 31-01-2013 10:01:34
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : fermés d'un e.v.n.
Salut,
Soit [tex](a_n+b_n)[/tex] une suite de A+B qui converge vers [tex]l[/tex]. Il faut montrer que
[tex]l\in A+B[/tex]. Notons [tex]F=\{(a_n,b_n);\ n\geq 0\}\subset A\times B[/tex] et [tex]G=S(F)[/tex]
Alors [tex]G=\{a_n+b_n;\ n\geq 0\}[/tex]. Puisque la suite [tex](a_n+b_n)[/tex] converge vers [tex]l[/tex],
on sait que [tex]K=G\cup \{l\}[/tex] est un compact de E. Puisque S est propre, alors
[tex]S^{-1}(K)[/tex] est un compact de E. Il contient F, et [tex](a_n,b_n)[/tex] est une suite de F.
Par compacité, il existe [tex]a\in A,\ b\in B[/tex] et une suite extraite [tex](a_{\phi(n)},b_{\phi(n)})[/tex]
qui converge vers (a,b). Autrement dit, [tex]a_{\phi(n)}+b_{\phi(n)}\to a+b[/tex]. Par unicité de la limite,
[tex]l=a+b\in A+B[/tex].
Ainsi, A+B est fermé.
Fred.
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