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Laure67009

Invité

Loi marginale en probabilité

Bonsoir,
Actuellement en L3 Maths je suis bloquée a un exercice de proba sur les lois marginales.
Voici l'exercice

Soient X et Y deux variables aléatoires a valeurs entieres telles que pr x et y
P(X=x,Y=x) =( λ^y / x!(y-x)! ).exp(-2λ)      si 0≤x≤y
                    0                                       sinon
où λ est un réel fixé tel que λ>0

Montrer que la loi marginale de X est une loi de Poisson P(λ)

J'ai commencé par :
(Desolée pour la notation je n'ai pas réussi a inséré la somme donc je l'ai écrite à la main )

Par définition la loi marginale est la
Somme allant de y=x à infini de ( λ^y / x!(y-x)! ).exp(-2λ)

Je sors les constantes devant la somme :
= exp(-2λ) / x! multiplié par la somme allant de y=x à infini de  λ^y . 1/(y-x)!

or somme de y=x a l'infini de λ^y =  λ^x / 1- λ

J'ai dejà du λ^x et x! qui sont les composantes d'une variable qui suit la loi de Poisson. Mais il me manque le exp(- λ) et je ne sais pas quoi faire de la somme de 1/(y-x)!

Merci d'avance !

yoshi

Modo Ferox

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Re : Loi marginale en probabilité

RE,

(Desolée pour la notation je n'ai pas réussi a inséré la somme donc je l'ai écrite à la main )

Mauvaise excuse...
Quand on veut, on peut : Code LaTeX sans aucun pré-requis !
[tex]\sum_{y=x}^{+\infty} \frac{\lambda^y}{ x!(y-x)!} .e^{-2\lambda}[/tex]...
C'est cela que tu voulais écrire ?

Sinon, si tu as l'environnement Java installé sur ta machine : clique sur le bouton Insérer une équation, un petit tuto intégré y est accessible en pdf....

      Yoshi
- Modérateur -

freddy

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Re : Loi marginale en probabilité

Salut,

je reprends directement l'écriture de yoshi :

[tex]\Pr(X=x)=\sum_{y=x}^{+\infty} \frac{\lambda^y}{ x!(y-x)!} .e^{-2\lambda}=\frac{e^{-2\lambda}}{x!}\sum_{t=0}^{+\infty} \frac{\lambda^{x+t}}{ t!}=\frac{\lambda^x}{x!} .e^{-\lambda}[/tex]

puisque [tex]e^{\lambda}=\sum_{t=0}^{+\infty} \frac{\lambda^{t}}{ t!}[/tex]

Laure67009

Invité

Re : Loi marginale en probabilité

Merci beaucoup je n'avais pas pensé à un changement de variables.

J'ai une autre question qui est de montrer que la loi marginale de Y est aussi une loi de Poisson. J'ai essayé avec un changement de variable x=y+t mais j'ai le λ^{y}qui disparait.
Si je sors les constantes devant la somme il me reste \frac{1}{x!(y-x)!} mais je ne vois pas comment calculer.

Merci d'avance

------------------------*
[EDIT]by Yoshi
Si tu n'encadres pas ta formule avec les balises tex et /tex :
- sélectionne-la
- puis clique sur le 1er icône à gauche de la barre d'outils de rédaction d'un message, comme ça :
[tex]\frac{1}{x!(y-x)!}[/tex]

Dernière modification par yoshi (04-11-2012 16:50:10)

freddy

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Re : Loi marginale en probabilité

Salut,

si tu n'écris pas en Latex, je ne vais pas pouvoir beaucoup t'aider, car je ne comprends pas bien ce que tu fais.

freddy

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Re : Loi marginale en probabilité

Re,

je me doutais bien que yoshi passerait par là.

Je vais te montrer un truc :
[tex]\Pr(X=x,Y=y)= \frac{\lambda^{(y-x)+x}}{ x!(y-x)!} e^{-\lambda}e^{-\lambda}[/tex] si [tex]0 \le x \le y[/tex]

Trouverais tu la suite ?

Dernière modification par freddy (04-11-2012 20:38:14)

freddy

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Re : Loi marginale en probabilité

Re,

le manque d'éducation de certains internautes consommateurs de sites d'aide me surprendra toujours ... Sic transit gloria Mundi !

Pour les autres, je continue :

[tex]\Pr(X=x,Y=y)= \frac{\lambda^{x}}{ x!} e^{-\lambda}\times \frac{\lambda^{y-x}}{ (y-x)!}e^{-\lambda}[/tex] si [tex]0 \le x \le y[/tex], et [tex]0[/tex] sinon.

On déduit alors la loi conditionnelle de Y sachant X : [tex]\Pr(Y=y/X=x)=\frac{\Pr(X=x,Y=y)}{\Pr(X=x)}=\frac{\lambda^{y-x}}{ (y-x)!}e^{-\lambda}[/tex] si [tex]0 \le x \le y[/tex], et [tex]0[/tex] sinon.

La question était mal posée, il fallait lire : "montrer que la loi conditionnelle de Y/X suit aussi une loi de Poisson de paramètre [tex]\lambda[/tex]"