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euler88

Invité

Corps des invariants

Salut !
J'ai cette question :

On considère l'ensemble [tex]G=\{\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\}[/tex] d'automorphismes de [tex]K(X)[/tex], où [tex]K[/tex] est un corps, et les [tex]\sigma_i[/tex] sont définies sur [tex]K(X)[/tex] par :
[tex]\sigma_1:g(X)\mapsto g(X), ~~\sigma_2:g(X)\mapsto g\left(\frac{1}{1-X}\right), ~~\sigma_3:g(X)\mapsto g\left(\frac{X-1}{X}\right)[/tex]

Il est clair que [tex]G[/tex] est un groupe (muni de la loi de composition des application).
Déterminer le corps [tex]K_0[/tex] des invariants de [tex]G[/tex].

Je veux quelques indications pour cette question!

Merci d'avance

Groupoid Kid

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Re : Corps des invariants

Bonjour à toi Euler88 !

Je vois un problème d'algèbre élémentaire alors je saute dessus :)

Tout d'abord, je te conseille de vérifier à la main que [tex]G[/tex] est bien un groupe, afin de te familiariser avec les manipulations de variables. Ensuite puisque [tex]G[/tex] est d'ordre 3 et donc monogène, il faut et il suffit de trouver les invariants sous l'action d'un des générateurs, par exemple [tex]\sigma_2[/tex].

J'ai procédé comme une brute par coefficients indéterminés, et obtenu une réponse assez rapide grâce à l'unicité du développement en parties polaires d'une fraction rationnelle (l'équivalent sur un corps quelconque de la décomposition en éléments simples sur [tex]\mathbb{R}[/tex] ou [tex]\mathbb{C}[/tex]).

Cela t'éclaire-t-il ?