Forum de mathématiques - Bibm@th.net

mathieu64

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Homéomorphisme

Bonjour,
Est ce que quelqu'un aurait une piste pour montrer que R et R*R ne sont pas homéomorphes? Pour montrer qu'ils ne sont pas difféomorphes ça va mais là je ne vois pas comment si prendre.
Merci

Fred

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Re : Homéomorphisme

Salut,

  Un argument de connexité peut convenir. En effet, [tex]\mathbb R^2[/tex] privé d'un point est connexe, et [tex]\mathbb R[/tex] privé d'un point ne l'est pas.
Suppose donc qu'il existe un homéomorphisme f de  [tex]\mathbb R^2[/tex] sur [tex]\mathbb R[/tex]. Alors
[tex]f(\mathbb R^2\backslash\{0\})[/tex] est connexe (car l'image d'un connexe par une application continue l'est).
Or,  [tex]f(\mathbb R^2\backslash\{0\})=\mathbb R\backslash \{f(0,0)\}[/tex] qui n'est pas connexe.

Fred.

mathieu64

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Re : Homéomorphisme

Elle est superbe cette démo merci. J'étais tombé sur le théorème d'invariance du domaine mais pour ce cas particulier c'est jolie.
Merci