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adrienbruchet

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Limite d'une fonction connaissant sa dérivée

Bonjour,

J'ai un exo de maths sup avec lequel je bataille depuis quelques soirs:

soit f: ]0; +inf[ --->R dérivable sur ]0; +inf[ et telle que f' admette une limite finie l en +inf.

Montrer : f(x)/x -->  l
                         x-->+inf

J'ai essayé des formules de taylor, des accroissements finis, mais rien de concluant jusqu'à présent... Help!!

Cordialement

Adrien

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : Limite d'une fonction connaissant sa dérivée

Bonsoir,

  On peut le faire avec l'égalité des accroissement finis par exemple, mais cela nécessite un peu de travail.

On commence par fixer [tex]\varepsilon>0[/tex]

On sait qu'il existe A>0 tel que [tex]|f'(x)-l]<\varepsilon[/tex] dès que x>A.
Prenons encore x>A et appliquons l'égalité des accroissement finis entre x et A
On a [tex]\frac{f(x)-f(A)}{x-A}=f'(c)[/tex] où c>A.

Il faut se ramener à f(x)/x. Pour cela, on écrit

[tex]\frac{f(x)-f(A)}{x-A}=\frac{f(x)}{x-A}-\frac{f(A)}{x-A}[/tex]
Or, le dernier terme tend vers 0. On peut trouver B tel que x>B entraine
[tex]\left|\frac{f(A)}{x-A}\right|<\varepsilon[/tex]
On en déduit que, pour x>max(A,B), on a

[tex]\left|\frac{f(x)}{x-A}-l\right|\leq 2\varepsilon[/tex]

De plus,

[tex]\frac{f(x)}{x}-\frac{f(x)}{x-A}=\frac{-A}{x}\times\frac{f(x)}{x-A}[/tex]

D'où (je vais un peu vite...)

[tex]\left|\frac{f(x)}{x}-\frac{f(x)}{x-A}\right|\leq\frac{A}{x}\times (|l|+\varepsilon)[/tex]

Le membre de droite tend vers 0. On peut trouver C>0 tel que, pour x>C, on a

[tex]\left|\frac{f(x)}{x}-\frac{f(x)}{x-A}\right|<\varepsilon[/tex]

Il suffit simplement maintenant de tout mettre ensemble... Pour x>max(A,B,C), on a

[tex]\left|\frac{f(x)}{x}-l\right|\leq 3\varepsilon[/tex]