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Mohameden Aly

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Carecterisation de propriéte de Markov

salut à tous.
j'ai un petit problème avec la démonstration de la caractérisation au dessus du propriété de Markov.
j'ai bien besoin d'aide.   

Notion de processus de Markov :

Soit  (E,B)   un espace  mesurable.
On note par :
bB(E) :={f:E→R∶f mesurable bornée}.
Soient (Ω,F,P)  un espace de probabilités et T=N,Z,[0,+∞[,R.
Soit (X_t,t ∈T ) un processus stochastique sur Ω à valeurs dans E i.e. Une famille de variables aléatoires.
Propriété de Markov :
Soit  (G_t ,t ∈T) une filtration de (Ω,F)  i.e. Une famille de sous tribus croissants de F.
On dit que le processus (X_t ) est un processus de Markov (PM) par rapport à (G_t ) si :
(PM0) (X_t ) est adapte à (G_t ) i.e. Pour tous t ∈T   X_t  est  G_t mesurable.
(PM1) Pour tous t≤s ∈T  et  pour toute fonction f ∈bB(E)  on a :
E(f(X_s)\G_t)=E(f(X_s)\X_t)

Caractérisation :
On suppose que (PM0) est vrai.
Alors (PM1) est équivalente à dire que :
Pour tous n≥1  et pour tous t≤s_1<⋯<s_n ∈T et  pour toutes fonctions f_1,…,f_n ∈bB(E)  on a :
E(∏_(k=1)^n〖f_k(X_(s_k ) )〗\G_t)=E(∏_(k=1)^n〖f_k(X_(s_k )) 〗\X_t)

Merci a tous.

Dernière modification par Mohameden Aly (08-01-2012 21:42:22)