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tibo

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anneau principal non euclidien

Bonjour à tous, bonne année et meilleurs voeux !

Je commence l'année avec un problème d'algèbre:
Il s'agit de montrer que [tex]A=\frac{\mathbb{R}[X,Y]}{<X^2+Y^2+1>}[/tex] est un anneau principal non euclidien
(Perrin chapitre 2, exercice 5.1 et 5.4)

J'ai montré que tout élément v de A s'écrit comme v=a(x)y+b(x) (avec x la classe de X et y la classe de Y)
J'ai également montré que la donnée d'un morphisme de A dans C est équivalent à la donnée du couple (x,y) tel que x²+y²+1=0

Je suis sensé en déduire que A*=|R* (A* étant l'ensemble des éléments inversible de A)
Je sais que |R[X]*=|R* mais comment passer au quotient?

En conclure que A n'est pas euclidien
Je sais que si A est euclidien, alors on aurait pour tout p de A\A* (p non inversible) que la restriction à A*U{0}  de la projection canonique de A sur A/<p> est surjective.
Je dois alors en tirer une contradiction.
mais je sèche la...

Ensuite montrer pour montrer que A est principal c'est encore pire je ne vois pas du tout par ou commencer...

Je sais que je n'ai pas fait grand chose, mais c'est difficile de remettre son cerveau en route juste après les fêtes...

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : anneau principal non euclidien

Salut Tibo,

  Je vais te donner un conseil qui va t'être fort utile. Ne t'aventure pas dans les exercices du Perrin sans avoir à côté de toi
le livre "Exercices de mathématiques pour l'agrégation, Algèbre 1" de Francinou et Gianelle. Il pourrait presque s'appeler "les exercices corrigés du Perrin". D'ailleurs, l'exo que tu proposes est l'exo 2.23 de ce livre. A emprunter d'urgence à la BU si tu ne l'as pas.

  Bon, comme j'ai le livre sous les yeux, je peux te débloquer sur certaines questions....

Il s'agit de montrer que [tex]A=\frac{\mathbb{R}[X,Y]}{<X^2+Y^2+1>}[/tex] est un anneau principal non euclidien
(Perrin chapitre 2, exercice 5.1 et 5.4)

J'ai montré que tout élément v de A s'écrit comme v=a(x)y+b(x) (avec x la classe de X et y la classe de Y)
J'ai également montré que la donnée d'un morphisme de A dans C est équivalent à la donnée du couple (x,y) tel que x²+y²+1=0

Je suis sensé en déduire que A*=|R* (A* étant l'ensemble des éléments inversible de A)

Une inclusion est triviale... Pour l'autre, tu prends P dans A et tu supposes qu'il n'est pas dans IR*.
Il s'agit ensuite de trouver deux complexes u et v tels que [tex]u^2+v^2+1=0[/tex] et [tex]\phi_{u,v}(P)=0[/tex]
où [tex]\phi_{u,v}[/tex] est le morphisme associé au couple (u,v). En décomposant P comme à la première question,
on est ramené à résoudre
[tex]u^2+v^2=1\textrm{ et }a(u)v+b(u)=0[/tex]

On prend d'abord u une racine de a(X)(X^2+1)+b(X)^2, puis on trouve v...

En conclure que A n'est pas euclidien
Je sais que si A est euclidien, alors on aurait pour tout p de A\A* (p non inversible) que la restriction à A*U{0}  de la projection canonique de A sur A/<p> est surjective.
Je dois alors en tirer une contradiction.
mais je sèche la...

Tu dois utiliser le fait que A*U{0} est égal à R. L'équation [tex]x^2+y^2+1=0[/tex] n'a pas de solutions dans IR. Mais elle en a une dans A, et par conséquent dans A/<P>

Ensuite montrer pour montrer que A est principal c'est encore pire je ne vois pas du tout par ou commencer...

Tu as affaire à un anneau noethérien dont tous idéaux maximaux sont principaux....

Fred.