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Alex10

Invité

Analyse complexe.

Bonsoir à tous,

Je rencontre un peu difficulté pour résoudre l'exercice suivant :
Déterminer une fonction continue ( analytique ) définie sur :
[tex] U = \mathbb{C} - \{ (x,0) \ / \ x \leq -1 \ \mathrm{ou} \ x \geq 1 \}[/tex]
et telle que :  [tex]f(0) = i[/tex] et [tex] (f(z))^2 = z^2 -1[/tex] pour tout [tex] z \in U [/tex].

Merci pour votre aide.

Roro

Membre expert

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Re : Analyse complexe.

Bonjour Alex10,

J'imagine que tu dois savoir définir la fonction racine carrée de façon analytique sur un sous-ensemble de C comme par exemple sur le complémentaire de [tex]V=\{z\in C ~;~ Re(z)\geq 0\}[/tex] : tu définis [tex]\sqrt{\phantom{to}}[/tex] comme l'application
[tex]z = r \; \mathrm e^{i \theta} \in C\setminus V ~ \longmapsto ~ \sqrt r \; \mathrm e^{i \theta/2}[/tex]
où [tex]r>0[/tex] et [tex]\theta \in ]0,2\pi[/tex][.

Ensuite, il suffit de définir [tex]\sqrt{z^2-1} = \sqrt{z-1} \sqrt{z+1}[/tex].

Roro.

Dernière modification par Roro (24-12-2011 10:55:49)