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abdoullah

Invité

distance d'un point à un sous espace vectoriel

bonsoir svp j'ai une question sur un exercice
soit (x₁,..,x_n) une famille libre d'un sous espace vectoriel E
on a M=Mat_B(x₁,..,x_n)
et G(x₁,..,x_n)=^tM.M
la question est : * soit x appartenant à E montrer que:
     d(x,F)=[tex]\sqrt{\frac{det(x,x1,..,xn)}{det(x1,..,xn)}}[/tex]
Merci de vos reponses

abdoullah

Invité

Re : distance d'un point à un sous espace vectoriel

SVP j'ajoute que F=vect(x1,...,xn) et B est une base othonormée de F
Merci de bien vouloir m'excuser pour cet oublier et merci encore pour vos réponses

Fred

Administrateur

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Re : distance d'un point à un sous espace vectoriel

Bonsoir,

Ecris que x=y+z où y est la projection orthogonale de x sur F, et regarde ce que cela fait sur le déterminant au numérateur
de ton expression (notamment la première ligne et la première colonne, il ne doit rester quelque chose qui dépend de z que tout en haut à gauche). Utilise ensuite la linéarité par rapport à la première colonne
pour te ramener à [tex] \|z\|^2\times G(x1,...,xn)[/tex]

Fred.

abdoullah

Invité

Re : distance d'un point à un sous espace vectoriel

oui mais comment pourrais-je calculer un determinant de n vecteurs je sais qu'il y a une partie nule de ce determinant mais comment je peux l'expliciter et le calculer? merci.

Fred

Administrateur

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Re : distance d'un point à un sous espace vectoriel

Difficile de te répondre comme cela sans écrire les matrices.
Ecris-nous où tu en es après avoir remplacé x par y+z.

Fred.