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#1 21-11-2011 14:56:18
- fabricen26
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- Messages : 47
reduction des matrices: forme de jordan
Salut a vous
S'il vous plais je voudrais savoir comment retrouver la forme de jordan d'une matrice quand elle a les valeurs propres complexes et quand elle a des valeurs propres d'ordre de multiplicite superieure a 1
Merci d'avance pour votre reponse
Hors ligne
#2 23-11-2011 15:31:16
Re : reduction des matrices: forme de jordan
Salut,
Tu as un cours de mathématiques sur le sujet ? Si oui, relis-le. Si tu n'en as pas, ou qu'il est absolument incompréhensible, alors, je chercherai si j'en trouve un sur le web.
A+
Hors ligne
#3 24-11-2011 14:20:17
- fabricen26
- Membre
- Inscription : 25-11-2009
- Messages : 47
Re : reduction des matrices: forme de jordan
Salut
j'ai un cour mais qui ne traite que les cas ou les valeurs propres sont réelles et d'ordre de multiplicité 1 .
Donc qui ne résout pas mon problème .
Hors ligne
#4 27-11-2011 04:18:00
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : reduction des matrices: forme de jordan
Salut,
L'idée est de partir du fait que dans [tex]{\mathbb C}[X][/tex] tout polynôme non nul est scindé et d'écrire le polynôme caractéristique de l'endomorphisme f en question sous la forme : [tex]\chi_f = \prod_{k=1}^s(\lambda_s-X)^{m_k}[/tex] où [tex]s[/tex] est le cardinal du spectre de [tex]f[/tex] et pour [tex]1 \leq k \leq s[/tex], on désigne par [tex]m_k[/tex] la multiplicité de [tex]\lambda_k[/tex].
Ceci fait, l'utilisation du lemme de décomposition des noyaux et le théorème de Cayley-Hamilton fournit : [tex] E=\oplus_{k=1}^s E_k[/tex] où [tex]E_k = \ker (f-\lambda_k \text{Id}_E)^{m_k}[/tex].
Le cours te permet de dire que les [tex]E_k[/tex] sont stables par [tex]f[/tex]
Ceci a pour conséquence de simplifier le problème : à savoir se ramenr à un endomorphisme qui a une unique valeur propre [tex]\lambda[/tex] de multiplicité [tex]m[/tex] où [tex]m[/tex] est la dimension de l'espace vectoriel [tex]E[/tex].
On remarque dans ce cas que [tex]f = u + \lambda \text{Id}_E[/tex] où [tex]u[/tex] est un endomorphisme nilpotent.
Je te laisse le soin de chercher ce qui concerne les endomorphismes nilpotents ( voir des livres de cours de spé M*)