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#1 13-11-2011 00:44:06
- samo12
- Membre
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- Messages : 236
analyse convexe
Bonsoir à tous, j'ai un exercice que je n'ai pas pu le résoudre et le voilà :
S inclus dans Rn et x n'appartient pas à S. on désigne pas Ps(x) l'ensemble des y dans S tel que \\x-y\\=ds(x) avec ds(x) est la fonction distance euclidienne à S) . Montrer l'équivalence des assertions suivantes :
(i) y dans Ps(x) ;
(ii) y dans S et <x-y,c-y>=< (1\2)\\c-y\\² quelque soit c dans S .
(iii) y appartient à Ps(y+t(x-y)) pour tout t appartient à [0,1].
Pourriez-vous m'aider, merci d'avance :)
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#2 13-11-2011 21:28:44
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : analyse convexe
Bonsoir,
Voici quelques pistes pour te débloquer :
* Pour (i) équivalent à (ii), tout est basé sur la décomposition suivante :
[tex]c-x=(c-y)+(y-x)[/tex]
Tu calcules ensuite [tex]\|c-x\|^2[/tex] en utilisant cette décomposition, et donc en faisant intervenir deux normes et un produit scalaire.
L'équivalence de (i) et (ii) vient ensuite.
*(iii) implique (i) est trivial
*(i) implique (iii) : en vertu de l'équivalence (i) et (ii), il suffit de prouver que, pour tout c de S, on a
[tex]\langle y+t(x-y)-y,c-y\rangle\leq \frac12\|c-y\|^2[/tex]
et ceci est normalement un calcul simple, puisque tu sais que tu as (ii).
Fred.
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