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Ezan Vincent

Invité

Application linéaire et matrice

soit E e.v des fonctions de R--->R, f1(x)=3/x-1 ; f2(x)=1/x+1; f3(x)=1/2x-1
E3 s.e.v engendré par B={f1,f2,f3}
et l'application linéaire u : E3-->E3

u: af1+bf2+cf3--------->(a+c)f1+3bf2+(4c+a)f3

2) Déterminer la matrice A de u dans B

Mon problème ici est que la forme de l'application linéaire n'est pas commune et je n'arrive pas à l'exploiter pour faire la question 2).

Merci d'avance pour votre aide

Ezan Vincent

Roro

Membre expert

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Re : Application linéaire et matrice

Bonsoir Vincent,

Comment ça "pas commune" ?

Par définition, la matrice de u dans la base B est un tableau de 3 colonnes (car B possède 3 éléments) ou dans chacune de ces colonnes tu ranges successivement u(f1), u(f2) et u(f3), exprimés dans la base B eux-aussi (chaque colonne sera donc composée de 3 réels).

Puisque u(f1) = f1 + f3  (t'es d'accord ?) alors la première colonne de ta matrice ressemble à [tex]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}[/tex].

Je te laisse faire la suite ?

Roro.

Ezan Vincent

Invité

Re : Application linéaire et matrice

J'ai déjà fait plein d'exercice que les applications linéaires et je n'avais pas de problème pour faire ce genre de question car les applications était sous forme u(x,y,z)=(x-y;x-2z;x+y+z) avec des espace de matrices et non de fonction, l'espace des matrices est pour moi plus facilement représentable que l'espace des fonctions!

Revenons à  l'exercice !

Je vois très bien la matrice que je devrais avoir les images en colonne et les vecteurs de la base en ligne
Ce qui me pose problème, c'est que je n'arrive pas à transposer la méthode d'un espace de matrices à un espace de fonctions.

Si j'ai bien compris ton calcul

pour u(f1) a=1 b=0 et c=0

donc u(af1+bf2+cf3)=(a+c)f1+3bf2+(4c+a)f3 si et ssi u(f1)=f1+f3

donc pour u(f2) et u(f3) on aura :

u(f2)=3f2  u(f3)=f1+4f3

Roro

Membre expert

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Re : Application linéaire et matrice

Tout juste...

Roro.

Daudetarago

Membre

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Messages : 36

Re : Application linéaire et matrice

Bonjour en espérant que la mise en forme est correcte pour cette reprise Latex du message initial d'Ezan Vincent

Soit E l'ensemble des espaces vectoriels  des fonctions de [tex] \mathbb R \longrightarrow \mathbb R [/tex]
[tex] f_1(x)= \frac {3}{x}-1 [/tex]  [tex] f_2(x)= \frac {1}{x}+1 [/tex]   [tex] f_3(x)= \frac {1}{2x}-1 [/tex]
[tex]E_3[/tex] est le sous-espace vectoriel de E engendré par la base [tex] B=(f_1,f_2,f_3) [/tex]
et l'application linéaire [tex] u [/tex] de [tex] E_3\longrightarrow E_3[/tex]  telle que
[tex] af_1+bf_2+cf_3 \longmapsto (a+c)f_1+3bf_2+(4c+a)f_3[/tex]

Déterminer la matrice [tex]A [/tex]de [tex]u [/tex] relative à la base[tex] B[/tex]