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Juju79

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Borne inf

Bonjour,

Voici mon sujet :

Soit (X,d) un espace métrique et (xn)n une suite de points de X
On pose pour x de X et n de N: fn=d(x,xn))+1/n

f(x)=inf fn(x)  pour n de N

J'ai réussi les premières et j'ai un problème pour montrer que :

1) inf (f(x)) pour x de X existe et est égale à 0
2) f(x)=0 si et seulement si une suite extraite de la suite (xn)n qui converge vers x.

Pourriez vous m'aider s'il vous plait?

Merci d'avance
Juju

Dernière modification par Juju79 (08-11-2011 18:06:52)

Fred

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Re : Borne inf

Salut,

  Voici quelques pistes.

1) Pour démontrer que l'inf existe, et est supérieur ou égal à 0,
pose toi la question suivante : j'ai une partie A de R. A quelle condition A admet une borne inférieure avec inf(A)>=0?

Pour démontrer ensuite que inf(f(x)) vaut exactement zéro, démontre d'abord que pour tout entier p,
[tex]f(x_p)\leq 1/p[/tex]   (conseil : calcule [tex]f_p(x_p)[/tex] )

2) C'est plus difficile! Il faut un raisonnement en deux temps :

* suppose d'abord que la suite [tex](x_{\phi(n)})[/tex] converge vers x. Alors,
[tex]f_{\phi(n)}(x)=d(x,x_{\phi(n)})+\frac 1{\phi(n)}[/tex] tend vers 0,
et tu sais que [tex]f(x)\leq f_{\phi(n)}(x)[/tex]

* réciproquement, suppose que f(x)=0. Alors, puisque pour chaque n, [tex]f_n(x)\geq 1/n>0[/tex], on sait qu'il existe
une suite extraite [tex](f_{\phi(n)}(x))[/tex] qui converge vers 0.
Mais alors, [tex]0\leq d(x,x_{\phi(n)})\leq f_{\phi(n)}(x)[/tex] tend aussi vers 0.

Fred.

Juju79

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Re : Borne inf

OK Merci Fred

j'ai compris la question 2

Mais la question 1 je n'arrive pas a montrer l'existense et inf f(x) >ou = a 0.
C'est possible de m'aider?

J.

Fred

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Re : Borne inf

Mon aide est ici :

  "j'ai une partie A de R. A quelle condition A admet une borne inférieure avec inf(A)>=0?"

Reprends ton cours, et vois quelles parties A de R admettent une borne inférieure, et quand a-t-on inf(A)>=0.

Si tu n'y arrives toujours pas, écris-moi ce que tu as lu dans ton cours, et je t'aiderai encore...

Fred.

sarah79

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Re : Borne inf

Salut,

Pour démontrer ensuite que inf(f(x)) vaut exactement zéro, démontre d'abord que pour tout entier p,
[tex]f(x_p)\leq 1/p[/tex]   (conseil : calcule [tex]f_p(x_p)[/tex] )

Fred.

Je bloque, je n'arrive pas à montrer que pout tout p f(xp)=<1/p
j'arrive juste a montrer que f(xn)=<1/n

Une indication?

Fred

Administrateur

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Re : Borne inf

Je bloque, je n'arrive pas à montrer que pout tout p f(xp)=<1/p
j'arrive juste a montrer que f(xn)=<1/n

Une indication?

Quelle est la différence entre f(xp)<=1/p et f(xn)<=1/n, si ce n'est le nom de la variable
(mais comme elle est muette, elle ne va pas protester si on change son nom....)

Tu conclus en disant que
[tex]f(x_n)\leq f_n(x_n)\leq 1/n[/tex]

et donc que
[tex]\inf(f(x))\leq 1/n[/tex]
pour tout entier n, donc [tex]\inf f(x)=0[/tex]

Fred.