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richard_10

Invité

Résolution des équations différentielles

Bonjour à vous,
Je suis entrain de bosser pour les maths appliquées, plus précisément la résolution des équations différentielles en utilisant des méthodes numériques à pas libre. Mon problème n'est pas du tout ca. En faite, parmi les méthodes utilisées on trouve la méthode de Taylor donnée par l'expression suivante :

yi+1=yi+hf(xi;yi)+h²/2[f'x(xi;yi)+f'y(xi;yi)*f(xi;yi)

C'est une question d'application seulement :

je connais pas exactement ce que veut signifier le terme f'x(xi;yi), mais sa doit être la dérivée de f par rapport à x.
Étant donnée l'équation suivante : y' = 1 + (y-x)²
La dérivée par rapport à x donne : y" = -2(y-x)
et à y : y" = 2(y-x)
Cependant, je ne tombe pas dans le bon résultat

PS : h est le pas : 0,1, x0=0, y0=0.5

Roro

Membre expert

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Messages : 1 801

Re : Résolution des équations différentielles

Bonsoir richard_10,

Tu as raison, la notation f'x correspond à la dérivée partielle par rapport à la variable x.
Là où ton raisonnement n'est pas correct c'est lorsque tu dérives la relation [tex]y'=1+(y-x)^2[/tex].

Plus précisément cette relation dit que pour tout [tex]x[/tex] on a [tex]y'(x) = 1 + (y(x)-x)^2[/tex].
Ainsi, lorsque tu la dérives par rapport à [tex]x[/tex] (c'est d'ailleurs la seule variable !) tu obtiens
[tex]y"(x) = 2(y(x)-x) (y'(x)-1)[/tex]
mais comme tu connais [tex]y'(x)[/tex], tu en déduis
[tex]y"(x) = 2(y(x)-x)^3.[/tex]
En fait c'est exactement comme ça qu'on obtient la formule de la méthode de Taylor que tu donnais...

Si je n'ai pas été assez clair ou si tu as d'autres questions n'hésite pas à reposter.

Roro.

Dernière modification par Roro (08-11-2011 21:42:33)