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#1 22-10-2011 00:21:16
- alain01
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Aire d'un triangle.
Bonjour à tous.
On considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I et (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Soit A(xo;f(xo)), B(xo-h;f(xo-h)) et C(xo+h;f(xo+h)) avec h > 0 et proche de 0, xo, xo-h, xo+h appartenant à I.
(Cf) admet au point d'abscisse xo une tangente (T).
La perpendiculaire à (y'y) en B coupe la perpendiculaire à (x'x) en C au point D (D est l'intersection des perpendiculaires).
Quand h--->0 calculez l'aire approchée de BCD en fonction de h et f'(xo).
Calculer cette aire si h=0,002 et la pente de (T) en xo=7.
Solution.
S est l'aire approchée de BCD qu'on peut assimiler à un "triangle" puisque h--->0 (B et C sont presque sur (T).
J'écrirai = au lieu de sensiblement égal (le Latex étant provisoirement arrêté).
S=BDxDC/2.
BD=2h.
Je calcule la longueur approchée de CD sur l'axe des ordonnées en utilisant les ordonnées de C ( l'ordonnée de C est l'approximation affine hf'(xo)+f(xo) ) et D (l'ordonnée de D est f(xo-h))
CD=[hf'(xo) +f(xo)]-[f(xo-h)] et CD=hf'(xo)-[f(xo-h)-f(xo)]
je multiplie l'expression entre crochets par -h et je divise par -h :
CD=hf'(xo)-(-h)[(f(xo-h)-f(xo))/(-h)]
et quand h--->0 [f(xo-h)-f(xo)](-h)=f'(xo)on obtient CD=hf'(xo)+h[f'(xo)]
donc CD=2hf'(xo).
On remplace et S=4h²f'(xo)/2 donc S=2h²f'(xo).
L'application numérique est facile si S est correcte.
Je vous prie de m'aider.
Merci.
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