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#2 15-10-2011 21:23:03
- Fred
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- Messages : 7 352
Re : exercice
Bonjour,
Je crois que cela fonctionne si on utilise que l'enveloppe convexe d'un ensemble E est l'ensemble des barycentres à coefficients positifs des points de E.
Précisément, on a
[tex](a,b)\in conv(A\times B)\iff \exists (a_1,b_1),\dots,(a_n,b_n)\in A\times B, \exists \lambda_1,\dots,\lambda_n\geq 0,
\sum_{i=1}^n \lambda_i=1, (a,b)= \sum_{i=1}^n \lambda_i(a_i,b_i)[/tex]
Mais alors, si [tex](a,b)\in conv(A\times B)[/tex], on a
[tex]a=\sum_{i=1}^n \lambda_i a_i[/tex] et une formule similaire pour [tex]b[/tex], et donc
[tex](a,b)\in conv(A)\times conv(B).[/tex]
La réciproque est plus compliquée...
Je vais essayer de l'expliquer sur un exemple en te laissant le soin de formaliser...
Tu prends [tex]a\in conv(A)[/tex] et [tex]b\in conv(B)[/tex], ainsi
[tex]a=\sum_{i=1}^p \lambda_i a_i[/tex] et [tex]b=\sum_{i=1}^q \mu_i a_i[/tex].
Le problème, c'est qu'on n'a pas forcément [tex]p=q[/tex] et [tex]\lambda_i=\mu_i[/tex].
Voici comment faire si tu as [tex]a=\frac 12 a_1+\frac 12 a_2[/tex] et [tex]b=\frac 13 b_1+\frac 13 b_2+\frac 13 b_3[/tex].
Tu commences par comparer les deux premiers coefficients, tu remarques que 1/3<1/2, et tu écris :
[tex]a=\frac 13 a_1+\frac 16a_1+\frac 12 a_2[/tex] et [tex]b=\frac 13 b_1+\frac 13 b_2+\frac 13 b_3[/tex]
Tu compares ensuite les deuxièmes coefficients (une fois a réécrit), et tu remarques que 1/3>1/6. Tu écris alors :
[tex]a=\frac 13 a_1+\frac 16a_1+\frac 12 a_2[/tex] et [tex]b=\frac 13 b_1+\frac 16 b_2+\frac16b_2+\frac 13 b_3[/tex]
Tu compares ensuite les trosièmes coefficients, et tu remarques que 1/2>1/6. Tu écris alors
[tex]a=\frac 13 a_1+\frac 16a_1+\frac 16 a_2+\frac13 a_2[/tex] et [tex]b=\frac 13 b_1+\frac 16 b_2+\frac16b_2+\frac 13 b_3[/tex]
Enfin, les 4-ième et dernier coefficient sont égaux. Ainsi, tu as écrit :
[tex](a,b)=\frac 13 (a_1,b_1)+\frac 16(a_1,b_2)+\frac 16 (a_2,b_2)+\frac 13(a_2,b_3)[/tex]
A quelle occasion as-tu rencontré cet exercice?
Fred.
Hors ligne
#10 24-10-2011 21:47:28
- samo12
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- Messages : 236
Re : exercice
alors comment je montre que l'adhérence(l'adhérence de conv(A)+ l'adhérence de conv(B)) inclus dans l'adhérence de conv(A+B) ??
Moi j'ai essayé de montrer que( l'adhérence de conv(A)+ l'adhérence de conv(B)) est inclus dans conv(A+B) or conv(A+B)= conv(A) + conv(B), donc on devrait montrer que ( l'adhérence de conv(A)+ l'adhérence de conv(B)) est inclus dans (conv(A) + conv(B)), mais je n'arrive pas à le montrer
??????????????
Dernière modification par samo12 (27-10-2011 18:27:34)
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