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#1 13-10-2011 18:00:17
- désiré
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- Messages : 1
fonction mesurable
Bonjour,
je me permets de vous soumettre une petite question
qui pourra m'éclairer sur la mesurabilité :
le fonction définie sur [0,1] par
[tex]f(x)=sin(1/x)[/tex] pour [tex]x\ne 0[/tex] et [tex]f(0)=0[/tex] est-elle
mesurable pour la tribu borélienne ?
Merci de m'aider,
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#2 13-10-2011 20:41:44
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : fonction mesurable
Bonjour,
Oui, elle est mesurable. Il y a sans doutes de nombreuses façons de le démontrer. En voici une, basée sur les deux propriétés suivantes :
* une limite simple de fonctions mesurables est mesurable
* une fonction continue par morceaux est mesurable.
Ici, si tu poses [tex]f_n(x)=\sin(1/x)[/tex] si [tex]|x|\geq 1/n[/tex], et [tex]f_n(x)=0[/tex] sinon, alors la suite [tex](f_n)[/tex] converge simplement vers f, et chaque fonction [tex]f_n[/tex] est mesurable, donc f est mesurable.
Fred.
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