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#1 11-10-2011 00:57:00
- alain01
- Membre
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- Messages : 102
Approximation affine locale.
Bonjour à tous.
[tex]f(x)=\sqrt{x^2+1}[/tex].
Déterminer l'approximation affine f(-1+h) en montrant l'erreur commise pour [tex]|h|<10^{-3}[/tex].
La valeur exacte [tex]f(-1+h)=\sqrt{h^2-2h+2}[/tex].......(1).
La fonction f composée de x--->x²+1 fonction polynome est dérivable sur R à valeurs dans R+ et [tex]u(y)-->\sqrt{y}[/tex] fonction racine carré est dérivable sur R+ donc f=uov est dérivable sur R donc en -1.
[tex]f'(-1)=\frac{-1}{\sqrt{2}}[/tex] et [tex]f(-1)=\sqrt{2}[/tex].
L'approximation affine en -1 est :
[tex]f(-1+h)\simeq\frac{-h}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}[/tex].........(2).
J'ai déterminé l'erreur commise[tex]h\epsilon(h)[/tex].....(3).
J'ai calculé (1)-(2)pour trouver (3) et j'ai trouvé [tex]\frac{h^2}{\sqrt{2}[\sqrt{2h^2-4h+4}+2-h}[/tex] que je n'arrive
pas à encadrer.
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#3 11-10-2011 11:48:28
- totomm
- Membre
- Inscription : 25-08-2011
- Messages : 1 093
Re : Approximation affine locale.
L'erreur commise est (1) = (2 corrigé) + \(\epsilon\)
soit en élevant au carré les 2 membres :
\(h^2-2h+2 = (\frac{2-h}{\sqrt{2}}+\epsilon)^2\)
\(\frac{h^2}{2} = \epsilon^2 +2\epsilon\frac{2-h}{\sqrt{2}}\)
En négligeant \(\epsilon^2 devant \epsilon\) et h comparé à 2 il vient
\(\epsilon = \frac{h^2}{4\sqrt{2}}\) qui est bien équivalent à \(\frac{f'' h^2}{2!}\)
[edit]
en dernière ligne ajouter : "pour x = -1"
[/edit]
Dernière modification par totomm (11-10-2011 12:05:22)
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