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Daudetarago

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matrices à coefficients dans Z/p1p2Z

Bonjour à toutes et à tous. Il pleut.

[tex](M)=(a_{i,j})[/tex] désigne une matrice carrée inversible [tex]r \times r [/tex] à coefficients dans [tex] \mathbb Z/p_1p_2 \mathbb Z[/tex] avec [tex]p_1[/tex] et [tex]p_2[/tex] premiers.
A partir de cette matrice on en crée deux autres qui sont, on arrive à le démontrer, inversibles aussi,  [tex](m_1)=(a_{i,j}\;\bmod\, p_1)[/tex] et [tex](m_2)=(a_{i,j}\; \bmod\,{p_2})[/tex].
On connaît le plus petit entier non nul [tex] K_1 [/tex] tel que [tex](m_1)^{K_1}=(I)[/tex] ( la multiplication des coefficients des matrices se fait dans [tex] \mathbb Z/p_1 \mathbb Z[/tex]) et aussi le plus petit entier non nul [tex] K_2 [/tex] tel que [tex](m_2)^{K_2}=(I)[/tex] (la multiplication des coefficients des matrices se fait dans [tex] \mathbb Z/p_2 \mathbb Z[/tex])

On remarque, "informatiquement", sur de très nombreux exemples que K, plus petit entier non nul tel que [tex](M)^{K}=(I)[/tex], est égal à

[tex] PPCM(K_1,K_2) [/tex]. Quelqu'un pourrait-il donner une ébauche de démonstration
Par avance merci

Fred

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Re : matrices à coefficients dans Z/p1p2Z

Bonjour,

  D'abord, tu as tort. Il fait un grand soleil!

Voici une esquisse de brouillon de preuve.
La chose la plus importante à remarquer est qu'on peut faire les réductions modulo p quand on le veut.
Autrement dit, si je calcule [tex]M^k[/tex], et que je réduis modulo [tex]p_1[/tex],
c'est pareil que si je calcule [tex](m_1)^k[/tex].
Comme souvent, il faut faire en deux temps.

Etape 1 : Si [tex]M^k=I[/tex], alors [tex]k[/tex] est un multiple de [tex]K_1[/tex].
Ce n'est pas trop dur, car tu peux utiliser que [tex](m_1)^k=I[/tex]

Etape 2 : Si [tex]M^k=I[/tex] dans [tex]\mathbb Z/p_1\mathbb Z[/tex]
et [tex]M^k=I[/tex] dans [tex]\mathbb Z/p_2\mathbb Z[/tex], alors
[tex]M^k=I[/tex] dans [tex]\mathbb Z/p_1p_2\mathbb Z[/tex]

Pour cela, tu as besoin du théorème chinois, qui te dit que si
[tex]x=1[/tex] dans [tex]\mathbb Z/p_1\mathbb Z[/tex] et dans
[tex]\mathbb Z/p_2\mathbb Z[/tex]n alors [tex]x=1[/tex] dans
[tex]\mathbb Z/p_1p_2\mathbb Z[/tex].

Fred.

Daudetarago

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Re : matrices à coefficients dans Z/p1p2Z

Merci Fred.    BZH (Bretagne Zone Humide)
Je vais suivre scrupuleusement tes indications
@ bientôt avec la solution complète

Daudetarago

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Re : matrices à coefficients dans Z/p1p2Z

Rebonjour et à nouveau merci à Fred
On utilise des k à la place des K comme dans le mail de Fred

[tex] (M)^k=(a_{i,j})^k=(a'_{i,j})=(I)_{p_1p_2} [/tex] (multiplications dans [tex] \mathbb Z /p_1p_2\mathbb Z [/tex])

Restes chinois

[tex] \mathbb Z/p_1p_2 \mathbb Z \longrightarrow  \mathbb Z/p_1 \mathbb Z \times \mathbb Z/p_2 \mathbb Z [/tex]

[tex] x \longrightarrow  (x\; \bmod\,p_1,x\; \bmod\,p_2) [/tex]

[tex] 0 \longrightarrow  (0,0) [/tex]

[tex] 1 \longrightarrow  (1,1) [/tex]

on réduit modulo [tex]p_1[/tex] et on obtient [tex] (m_1)^k =(a'_{i,j}\; \bmod\, p_1)= (I)_{p_1} [/tex]

on réduit modulo [tex]p_2[/tex] et on obtient [tex] (m_2)^k =(a'_{i,j}\; \bmod\, p_2)= (I)_{p_2} [/tex]

Comme [tex] k_1 [/tex] est le plus petit entier non nul tel que [tex] (m_1)^{k_1}=(I)_{p_1}[/tex]   on a
[tex] (m_1)^{k_1}=(m_1)^{2k_1}=(m_1)^{3k_1}=...(m_1)^{nk_1}= (I)_{p_1}[/tex]

Comme  [tex] (m_1)^k = (I)_{p_1} [/tex]  alors [tex] k [/tex] est un multiple dans [tex] \mathbb  N [/tex] de [tex] k_1 [/tex]

Comme [tex] k_2 [/tex] est le plus petit entier non nul tel que [tex] (m_2)^{k_2}=(I)_{p_2}[/tex]    on a
[tex] (m_2)^{k_2}=(m_2)^{2k_2}=(m_1)^{3k_2}=...(m_2)^{nk_2}= (I)_{p_2}[/tex]

Comme  [tex] (m_2)^k = (I)_{p_2} [/tex]  alors [tex] k [/tex] est un multiple dans [tex] \mathbb  N [/tex] de [tex] k_2 [/tex]

[tex] k [/tex] est le plus petit entier naturel tel que [tex] (M)^k=(I)_{p_1p_2} [/tex] et c'est un multiple dans [tex] \mathbb N [/tex] des entiers naturels [tex] k_1 [/tex] et [tex] k_2 [/tex] c'est donc  [tex] PPCM (k_1,k_2) [/tex]

Daudetarago

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Re : matrices à coefficients dans Z/p1p2Z

Bonjour à toutes et à tous
Je me permets de revenir au problème  [tex] [m]^K = I [/tex]

[tex] [m] [/tex] étant une matrice carrée [tex] r \times r[/tex] inversible à coefficients dans Z/pZ (p premier)
J'ai programmé de façon à trouver, pour quelques valeurs de p et de r, les valeurs de K pour les différentes
matrices de [tex] GLr(\mathbb Z/p \mathbb Z) [/tex]

K est un diviseur  de [tex] N_p^r=p^{\frac {r(r-1)}{2}}(p^r-1)(p^{r-1}-1) \ldots (p^2-1)(p-1) [/tex] (déjà démontré)

mais par programmation on remarque en plus que pour toutes les valeurs de p et de r choisies on a [tex] K\le (p^r - 1) [/tex]

Je ne trouve pas sur le Net de documents qui démontreraient la chose. Merci pour l'aide
Bonne journée
Ddtrg

Exemple pour les matrices [tex] [m] [/tex]  de [tex] GL_2(\mathbb Z/13 \mathbb Z) [/tex]   
[tex] N_{13}^2 = 26208 [/tex]
on a:
[tex] [m]^1=I[/tex] pour 1 matrice          [tex] [m]^2=I[/tex] pour 183 matrices      [tex] [m]^3=I[/tex] pour 548 matrices           
[tex] [m]^4=I[/tex] pour 912 matrices    [tex] [m]^6=I[/tex] pour 2004 matrices      [tex] [m]^7=I[/tex] pour 468 matrices
[tex] [m]^8=I[/tex] pour 312 matrices    [tex] [m]^{12}=I[/tex] pour 8376 matrices      [tex] [m]^{13}=I[/tex] pour 168 matrices
[tex] [m]^{14}=I[/tex] pour 468 matrices    [tex] [m]^{21}=I[/tex] pour 936 matrices      [tex] [m]^{24}=I[/tex] pour 624 matrices
[tex] [m]^{26}=I[/tex] pour 168 matrices    [tex] [m]^{28}=I[/tex] pour 936 matrices      [tex] [m]^{39}=I[/tex] pour 336 matrices

[tex] [m]^{42}=I[/tex] pour 936 matrices    [tex] [m]^{52}=I[/tex] pour 336 matrices     [tex] [m]^{56}=I[/tex] pour 1872 matrices

[tex] [m]^{78}=I[/tex] pour 336 matrices   [tex] [m]^{84}=I[/tex] pour 1872 matrices    [tex] [m]^{156}=I[/tex] pour 672 matrices

et enfin avec K maxi = [tex] p^r-1=13^2-1=168[/tex]

[tex] [m]^{168}=I[/tex] pour 3744 matrices

Groupoid Kid

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Re : matrices à coefficients dans Z/p1p2Z

Bonjour Daudetarago, pour reprendre l'ambiance des premiers posts, ici il fait grand soleil (bien qu'un peu froid).

Déjà, tu peux diviser par 2 ta borne [tex]N^r_p[/tex], la non commutativité force en effet [tex]GL_r(Z/pZ)[/tex] a ne pas être cyclique dès que [tex]r\geqslant 2[/tex] (oui je sais, ça n'avance pas des masses). Ensuite, as-tu vérifié ta majoration pour différentes valeurs de [tex]r[/tex] ? Si on peut intuiter une formule précise avant de chercher une justification, ça pourrait aider.

J'avoue que je n'ai pas des masses d'idées pour le moment, à part cette piste de défaut de commutativité qui pourrait être (très difficilement) exploitable en étudiant les groupes dérivés. À défaut de trouver le plus grand ordre possible pour un élément, on pourrait aussi commencer par trouver le plus gand ordre possible pour un sous-groupe commutatif. Vu le nombre de gens qui font de la représentation en caractéristique finie, je m'étonne que tout ceci ne soit pas référencé (O_o)

GK, sec

Daudetarago

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Re : matrices à coefficients dans Z/p1p2Z

Merci GK
J'ai vérifié que [tex] K_ {sup} = p^r - 1 [/tex]
pour:

[tex] \mathbb{GL}_2( \mathbb Z/ 2 \mathbb Z) [/tex]   [tex] K_ {sup} = 3 [/tex]  [tex] [m]^3=I [/tex]  pour 2 matrices

[tex] \mathbb{GL}_2( \mathbb Z/ 3 \mathbb Z) [/tex]  [tex] K_ {sup} = 8 [/tex]  [tex] [m]^8=I [/tex]  pour 12 matrices

[tex] \mathbb{GL}_2( \mathbb Z/ 5 \mathbb Z) [/tex]  [tex] K_ {sup} = 24 [/tex]  [tex] [m]^3=I [/tex]  pour 80 matrices

[tex] \mathbb{GL}_2( \mathbb Z/ 7 \mathbb Z) [/tex]  [tex] K_ {sup} = 48 [/tex]  [tex] [m]^{48}=I [/tex]  pour 336 matrices

[tex] \mathbb{GL}_2( \mathbb Z/ 11 \mathbb Z) [/tex] [tex] K_ {sup} = 120 [/tex]  [tex] [m]^{120}=I [/tex]  pour 1760 matrices

[tex] \mathbb{GL}_2( \mathbb Z/ 13 \mathbb Z) [/tex] [tex] K_ {sup} = 168 [/tex]  [tex] [m]^{168}=I [/tex]  pour 3744 matrices

[tex] \mathbb{GL}_3( \mathbb Z/ 2 \mathbb Z) [/tex] [tex] K_ {sup} = 7 [/tex]  [tex] [m]^{7}=I [/tex]  pour 48 matrices

[tex] \mathbb{GL}_3( \mathbb Z/ 3 \mathbb Z) [/tex] [tex] K_ {sup} = 26 [/tex]  [tex] [m]^{26}=I [/tex]  pour 1728 matrices

Ensuite çà marche aussi en faisant tourner le programme sans attendre la complète répartition des matrices on reste très vite bloqué sur  l'exposant Ksup égal à [tex] p^r - 1[/tex]

Je continue à chercher une éventuelle démonstration
Bonsoir à toutes et à tous
aueaao