La muse et le vampire ...

freddy · 21-07-2011 11:50:41

Hello tutti,

un joli petit problème que vient de me transmettre mon copain aussi fana que moi de casse-têtes.

Il est probablement connu de certains, donc merci de laisser chercher les autres avant de donner une réponse.

ENONCE

Une muse se trouve au milieu d'un lac parfaitement circulaire.

Autour du lac, sur la terre ferme, se trouve un vampire qui aimerait bien la dévorer. Pour cela, il va chercher à l'attraper au moment où elle sortira du lac, car le vampire n'aime pas l'eau et la muse doit impérativement quitter le milieu acqueux pour s'envoler inspirer d'autes poètes.

La vitesse de déplacement dans l'eau de la muse est quatre fois moindre que celle du vampire sur la terre ferme. Dès que la muse touchera la terre ferme, pfuitt, elle s'envolera ... et le vampire ne pourra l'attraper.

Question : existe t-il une stratégie permettant à la muse de sortir vivante de ce traquenard ?

Dernière modification par freddy (21-07-2011 14:10:25)

yoshi · 21-07-2011 12:02:44

B'jour,

Heu...

la vitesse de déplacement dans l'eau de la muse est quatre fois moindre que celle du vampire sur la terre ferme

Je ne trouve pas de trace ailleurs dans ton texte de ce vampire !
Normal ? Oubli ?

@+

freddy · 21-07-2011 14:11:08

Re,

merci yoshi de la remarque, j'ai rectifié pour rester compliance avec le titre du sujet !

Sinon, une petite idée ?

jpp · 21-07-2011 18:14:45

Bonjour.

Si c'est une muse qui , comme moi est mordue de pèche.

elle a dans ses poches un plomb , un fil et un bouchon. en plus un crayon fluo

si l'eau du bassin est claire , elle se met sous l'eau et fait une marque sur un bord du bassin

ensuite elle nage dans une direction en ligne droite ou elle va rencontrer à nouveau le bord

du bassin puis repart à angle droit pour aller trouver le point diamètralement opposé , puis le

marquer.

elle nage d'un point à l'autre et compte ses brassées.

elle repart dans l'autre sens et stoppe à la moitié. place son plomb au fond et le floteur

au bout du fil fait office de bouée.

c'est son repère. qu'elle va toujours avoir en ligne de mire avec le vampir dans l'alignement

elle va donc nager en dos crawlé et maintenir son cap de façon à ce que le floteur soit toujours

entre elle et le vampir.

le vampir doit parcourir alors un arc de cercle de longueur [tex]R.(\pi + t)[/tex]

et la muse une spirale d'archimède d'équation [tex]r(t) = a\times{t}[/tex]

R = rayon du bassin.

Mais si le vampir repart dans l'autre sens il faut inverser la spirale là ou elle s'est arètée,

symétriquement à l'axe polaire OM O --> centre du bassin et M la muse.

il vient donc un moment ou la trajectoire coupe le cercle de centre O et de rayon

[tex]R_1 > R - \frac{(\pi.R)}{4}[/tex]. à ce moment elle peut quitter sa trajectoire et

rejoindre le bord du bassin le plus proche si le vampire lui est diamètralement opposé.

Dernière modification par jpp (21-07-2011 21:20:17)

freddy · 21-07-2011 21:39:14

Salut,

le pb est que ta muse est morte en marquant le bord du bassin ...

Aurais tu mieux ?

jpp · 21-07-2011 21:45:55

Re.

à ce moment là elle s'arète à 1 m du bassin et marque le fond ou alors elle a un GPS.

freddy · 21-07-2011 22:26:23

Re,

non, elle n'a rien d'autre que son intelligence, pas de GPS, ni fil à plomb, ni ... ni ...

Elle n'a que son intelligence, qui est grande.

jpp · 21-07-2011 22:51:11

Re.

si elle circule sur un cercle de rayon [tex]\frac{R}{4}[/tex] sa vitesse de rotation autour du bassin

est la meme que celle du vampire.

si bien que lorsqu'elle est diamètralement opposée à lui elle se trouve à une distance de

[tex]\frac{3.R}{4}[/tex] du bord du bassin alors que le vampire , lui devra effectuer

[tex]\pi.R -- soit 3.14\times{R} > 4\times\frac{3R}{4} = 3R[/tex]

yoshi · 22-07-2011 08:56:09

Bonjour,

Je vais faire deux réponses, l'une très orientée Fantasy (Dame ! Il y a vampire et Muse...), l'autre plus scientifique...

Fantasy. Une muse... ? Oui, laquelle ? Il y en a 9...
Clio : la muse de l'Histoire. Elle lui narre par le menu, sans rien lui épargner, le déroulement de l'opération Barbarossa de la campagne de Russie... Ca le saoule tellement qu'il s'endort.
Erato : la muse de la musique. Elle lui chante l'épopée de Gilgamesh du chanteur syrien Abed Azrieh, elle enchaîne s'il le faut avec tout le répertoire de Mouloudji... Il s'endort.
Melpomène : la muse de la pésie tragique. Elle déclame Phèdre, Iphigénie... Il s'endort ou fuit en courant...
Scientifique.. J'ai pris à l'envers le problème des 4 mouches aux 4 coins d'un carré.
Soit M la muse, O, le centre, et V le Vampire à l'instant t = 0 : M = O. Je pense que de l'instant t à l'instant à l'intant t', la muse doit s'éloigner, en dos crawlé (je pompe sur jpp), sur la demi droite [VO) au delà de O.
Le vampire, ce que voyant, lui fait le tour (dans le sens horaire ou trigo peu importe), pour rejoindre le point M'', ntersection de [OM') avec le cercle, destination à cet instant de la muse...
Donc, à l' instant t', les positions sont M' et V'. La muse doit donc alors infléchir sa trajectoire pour rejoindre le point V'1 diamétralement opposé à V.
Le but de la manoeuvre est d'essayer de garder ou de rejoindre à chaque instant le nouveau point V'1, donc essayer de garder le point O entre elle et le vampire.

Est-ce que je suis clair ?

@+

totomm · 22-07-2011 09:34:57

Bonjour,

En combinant les 2 réponses précédentes de jpp et yoshi, on peut dire que, tant que la muse est à l'intérieur du cercle de rayon R/4, sa "vitesse angulaire" peut être supérieure à celle du vampire. elle n'a alors aucune peine à se maintenir sur la demi droite [VO) au delà de O (J'ai respecté les notations auxquelles yoshi tient beaucoup). Ensuite elle peut rejoindre le bord suivant un rayon sans pouvoir être attrapée.

Cordialement

yoshi · 22-07-2011 10:22:54

Re,

"Ma" muse infléchit sa trajectoire à chaque instant [tex]t+\epsilon[/tex], sur la direction [V'O) de façon à essayer de garder le centre O entre elle et le vampire.
Il faudra bien qu'à un moment elle quitte le disque de rayon R/4 et à ce moment il faudra bien qu'elle s'aventure dans la couronne circulaire de "largeur" 3R/4 où sa vitesse angulaire décroît...
Sur le cercle de centre O et de rayon R/4, sa vitesse angulaire est la même que celle du vampire.
C'est pourquoi dans un premier temps, en affinant mon raisonnement, je dirais que son objectif premier est non pas d'atteindre un point I du bord diamétralement opposé au vampire, mais plutôt du cercle de rayon R/4 tel que I, O et V' soient alignés, avec [tex]O \in[VI][/tex].
Ce doit être possible puisque sa vitesse angulaire est supérieure jusque là...
Ce n'est qu'ensuite, que mon raisonnement s'applique à un point du bord diamétralement opposé : elle aura gagné R/4...

M'enfin, ça doit quand même être ric-rac...

@+

Dernière modification par yoshi (22-07-2011 10:24:35)

jpp · 22-07-2011 14:58:30

Bonjour.

Freddy a parlé d'un lac et non d'un bassin . ça ne doit pas etre un petit diamètre,si
bien que la différence
[tex]d = \pi\times{R} - 4\times\frac{3\times{R}}{4} \approx0.14\times{R}[/tex]

est proportionnelle à [tex]R[/tex].

si [tex]R = 100m ---> d\approx14.6m[/tex] en arrivant au bord du bassin elle a d'autant plus le temps de

décoler que les vitesses sont petites , parce que les vitesses on ne les connait pas . et c'est juste leur

rapport qui est mentionné dans l'énoncé.

Freddy a précisé que la muse était très intelligente. Mais peut-etre que le vampire , lui ne suis que ses

propres instincts . il est moins fut-fut . Ainsi si la muse garde l'alignement V-O-M , et si l'autre en face

part tantot sens direct , tantot sens rétrograde , alors la muse nage en parcourant une courbe

ressemblant un peu à une sinusoide amortie jusqu'à [tex]OM = \frac{R}{4} - dR[/tex] , ou là elle finit

en parcourant la fin du rayon qui porte OM
à plus.

Dernière modification par jpp (22-07-2011 15:16:14)

freddy · 22-07-2011 16:39:03

Re,

je sens que vous vous approchez de la solution.

Oui da, il y a bien un tactique qui consiste à maintenir le vampire en un point de la terre ferme diamétralement opposé à celui de la muse dans l'eau, mais il se pourrait qu'à partir d'une certaine valeur du rayon R du lac, la muse soit bel et bien condamnée à mourir (de faim, de fatigue, de manque de savoir vivre ... ).

Sauriez vous dire combien ?

jpp · 22-07-2011 18:09:33

Re

ce lac immense autour duquel le vampir ne pourra plus etre vu de la muse d'une part;

et d'autre part, parce que son demi périmetre sera inférieur à 3 fois r qui est la distance

entre le centre du bassin et le bord du lac, celui-ci étant déjà traversé par 2 ou 3

parallèles et autant de méridiens. ce lac est une calotte sphérique .

le bord du lac serait un cercle de rayon 3185 km avec [tex]\frac{\beta}{\sin\beta} = \frac{\pi}{3}[/tex]

[tex]\beta = 0.52356 rd[/tex] et le rayon de la terre : [tex]6371 km[/tex]

[tex]R = 6371\times\sin\beta \approx 3185 km[/tex]

Dernière modification par jpp (22-07-2011 21:27:44)

jpp · 23-07-2011 11:07:13

Bonjour.

Autrement, en considérant une ligne d'horizon à 20 km avec un lac de diamètre 32 km

la muse n'aura plus le vampire en ligne de mire , et meme sans la moindre brise.

jpp · 27-07-2011 18:58:26

Bonsoir.

je reviens sur ma première idée:

a) sur un premier cercle de rayon [tex]r_2 = \frac{R}{4}[/tex] la muse a meme vitesse de rotation

que V le vampire.

b) sur un cercle plus petit de rayon [tex]r_1 = R\times{(1 - \frac{\pi}{4})}[/tex] , la muse possède

une vitesse de rotation supérieure à celle du vampire, et peut arriver au bord du bassin en M

en meme temps que V.

Il suffit donc à la muse de partir du centre et nager en ligne droite jusqu'à un cercle de rayon

[tex]r_3 = \frac{R}{2}\times{(\frac{1}{4}+1 -\frac{\pi}{4})} = R\times\frac{(5 - \pi)}{8}[/tex]

ce cercle est le cercle médian de la couronne délimitée par C₁ et C₂

Ainsi sur ce cercle elle peut tourner jusqu'à se trouver alignée avec O et V.

puis dès qu'elle se trouve alignée elle nage vers le point le plus proche se situant au bord du

bassin.

Et là , avec un rapport de vitesse [tex]\lambda = 4[/tex] , mathématiquement ça doit fonctionner

quelque soit le rayon du bassin . toujours en considérant les évènements sur un unic plan

sans contraintes liées à la durée du jour à la valeur des vitesse et la vision de près ou de loin

de nos deux vedettes. en les représentant géomètriquement par des points.

maintenant cette sratégie fonctionne avec un rapport de vitesse encore légerement supérieur.

après en augmentant la vitesse de V ou en diminuant la vitesse de M,il y a surement

d'autres stratégies , peut-etre un demi cercle excentré partant de O et de rayon

[tex]r_4 = \frac{R}{2\times{\lambda}}[/tex] et en quittant ce demi-cercle tangentiellement .

avec cette autre stratégie on peut pousser [tex]\lambda[/tex] aux environs de [tex]\lambda \approx 4.6[/tex]

Mais ici le rapport dont il est question est [tex]\lambda = 4[/tex]

Dernière modification par jpp (27-07-2011 19:19:09)

jpp · 28-07-2011 11:44:59

Bonjour.

Peut-etre que si le centre du lac se situe en antarctique au pole sud géographique, alors

la muse subit les effets de l'accélération de Coriolis.

mais ça doit etre quand-meme un lac chauffé.

Dernière modification par jpp (28-07-2011 11:47:08)

yoshi · 28-07-2011 12:22:40

Bonjour,

Ça ne m'avait pas frappé alors, mais maintenant si :

Autrement, en considérant une ligne d'horizon à 20 km avec un lac de diamètre 32 km
la muse n'aura plus le vampire en ligne de mire, et même sans la moindre brise.

Bien moins que ça...
1. Supposons que la Terre est plate.
Le pouvoir séparateur de l’œil humain (freddy, l'oeil de "ta" muse a-t-il les mêmes propriétés que l'oeil humain ?) est d'environ
[tex]\frac{3}{10000}\;rad[/tex] : un objet de 3m est visible à 10 km en ligne droite et réduit à un point.
A quelle distance est situé le Vampire, s'il est visible et mesure 2 m de haut ? Réponse 6 km.
2. Ah, mais non, la Terre est ronde de rayon environ 6371 km !!!
Le Vampire n'est alors visible que s'il dépasse de la ligne d'horizon.
Supposons que "notre" muse ait une taille elle aussi de 2 m.
Son horizon est situé à : [tex]6371 \times \tan\left(\arccos\left(\frac{6371}{6371,002}\right)\right)[/tex], soit en gros 5, 048 km

@+

totomm · 29-07-2011 17:31:11

Bonjour,

Et si la muse est myope, quel dommage pour ceux qui l'attendent....
lol

Cordialement :-)

jpp · 30-07-2011 21:37:52

Bonsoir.

la muse peut aussi forcer le sens de rotation du vampire.

par exemple si le vampire est à midi (en haut du cercle du bassin)

alors pour le forcer à tourner dans le sens trigo , elle commence à

parcourir une demi cardioide d'équation polaire [tex]r = d\times{(1 + \cos{t})}[/tex]

[tex]d[/tex] étant le diamètre de la base et de la roulante de cette épicycloide à

un rebroussement , lequel rebroussement se situe en O , centre du bassin.

le demi périmètre de la cardioide sera donc [tex]4d[/tex]

ce diamètre critique [tex]d[/tex] se calcule ainsi

[tex]4d + R - 2d = R + 2d = \frac{3\times\pi\times R}{8}[/tex]

d'ou [tex]d = R\times\left(\frac{3.\pi}{16} - \frac{1}{2}\right)[/tex]

donc avec ce diamètre [tex]d[/tex] la muse se trouve nez à nez avec le vampire

et son sort n'est pas enviable; mais si on diminue d'un chouème le diamètre de la roulante

on enlève alors 2 chouèmes sur son parcours ( 4 sur la cardioide - 2 sur la fin de parcours

de longueur R - 2d).

Alors la muse doit encore avoir toutes ses chances.

n.b. c'est bizarre , dès que j'utilise laTex une fois je ne l'ai plus à disposition et je

dois encore jouer avec altGr pour écrire mes balises.

Dernière modification par jpp (30-07-2011 21:42:16)

totomm · 31-07-2011 09:09:08

Bonjour,

Il me semble que la muse n'est pas libre de choisir sa trajectoire, en effet,
Chacun a vu que :
"depuis le centre la muse va commencer à bouger et le vampire va suivre sur la circonférence pour minimiser la distance entre lui et la muse. La muse va donc profiter de sa plus grande vitesse angulaire, tant qu'elle est dans le cercle de rayon R/4, pour maintenir le centre du cercle sur la ligne entre elle et le vampire"

C'est donc le vampire qui à son tour va essayer de sortir de cette situation, il peut donc aller dans le sens + ou le sens - de façon erratique pour tromper la muse, qui imperturbablement maintiendra l'alignement tout en gagnant vers la circonférence du cercle de rayon R/4.

Les trajectoires suivies sont donc bien, apparemment, imprévisibles, tant que la muse est dans le cercle de rayon R/4 ?

Cordialement

freddy · 17-08-2011 14:50:26

jpp a écrit :

Bonsoir.
la muse peut aussi forcer le sens de rotation du vampire.
par exemple si le vampire est à midi (en haut du cercle du bassin)
alors pour le forcer à tourner dans le sens trigo , elle commence à
parcourir une demi cardioïde d'équation polaire \(r = d\times{(1 + \cos{t})}\)
\(d\) étant le diamètre de la base et de la roulante de cette épicycloïde à
un rebroussement , lequel rebroussement se situe en O , centre du bassin.
le demi périmètre de la cardioïde sera donc \(4d\).
Ce diamètre critique \(d\) se calcule ainsi :
\(4d + R - 2d = R + 2d = \frac{3\times\pi\times R}{8}\)
d'où \(d = R\times\left(\frac{3.\pi}{16} - \frac{1}{2}\right)\)
donc avec ce diamètre \(d\) la muse se trouve nez à nez avec le vampire
et son sort n'est pas enviable; mais si on diminue d'un chouième le diamètre de la roulante
on enlève alors 2 chouièmes sur son parcours ( 4 sur la cardioïde - 2 sur la fin de parcours
de longueur R - 2d).
Alors la muse doit encore avoir toutes ses chances.

Salut JPP,

si tu nous expliquais ton vocabulaire technique, je pense que tout le monde comprendrait ta solution.

Je t'en remercie par avance,
freddy

Dernière modification par freddy (17-08-2011 22:10:57)

freddy · 17-08-2011 22:20:47

Re,

perso, je partais sur la piste d'une spirale logarithmique de la forme [tex]r(\theta)=e^{m\theta}[/tex] et en suis à chercher la valeur de m ...

Le calcul de l'abscisse curviligne [tex]s(\theta)=\left(\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}\right)r(\theta)[/tex] donne la distance parcourue par la muse, et donc la position du vampire sur le cercle du lac grâce à la relation sur leur vitesse linéaire respective.

J'en suis là ...

nerosson · 18-08-2011 17:51:58

Salut à tous,

Je n'ai pas cherché à approfondir toutes ce réponses savantes, mais je voudrais proposer quelque chose de mon cru, bien que ça me paraisse trop simple pour être bon.

La muse va se mettre à nager en rond à une distance du centre PRESQUE égale à R/4. le vampire va essayer de rester sur le même rayon qu'elle, mais n' y parviendra pas, par ce que la vitesse angulaire de la muse est un tout petit peu supérieure à la sienne. Après un temps long, l' "avance angulaire" de la muse sur le vampire sera de 180 degrés. A ce moment là, la muse gagnera la rive par un parcours très, très peu supérieur à 3R/4. Le vampire pour l'atteindre devra parcourir une distance de PI X R. La distance qu'il aura à parcourir sera supérieure à quatre fois celle à parcourir par la muse. Donc, le vampire n'arrivera pas à temps pour la dévorer.

totomm · 18-08-2011 20:17:39

freddy a écrit :

Re,
perso, je partais sur la piste d'une spirale logarithmique de la forme \(r(\theta)=e^{m\theta}\) et en suis à chercher la valeur de m ...
Le calcul de l'abscisse curviligne \(s(\theta)=\left(\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}\right)r(\theta)\) donne la distance parcourue par la muse, et donc la position du vampire sur le cercle du lac grâce à la relation sur leur vitesse linéaire respective.
J'en suis là ...

En prenant R=1 et en supposant que la muse est à la distance r du centre
Il me semble que ce qui importe est \(dr/d\theta = \left(\sqrt{\frac{1}{16}-r²}\right)\)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 21-07-2011 11:50:41

La muse et le vampire ...

#2 21-07-2011 12:02:44

Re : La muse et le vampire ...

#3 21-07-2011 14:11:08

Re : La muse et le vampire ...

#4 21-07-2011 18:14:45

Re : La muse et le vampire ...

#5 21-07-2011 21:39:14

Re : La muse et le vampire ...

#6 21-07-2011 21:45:55

Re : La muse et le vampire ...

#7 21-07-2011 22:26:23

Re : La muse et le vampire ...

#8 21-07-2011 22:51:11

Re : La muse et le vampire ...

#9 22-07-2011 08:56:09

Re : La muse et le vampire ...

#10 22-07-2011 09:34:57

Re : La muse et le vampire ...

#11 22-07-2011 10:22:54

Re : La muse et le vampire ...

#12 22-07-2011 14:58:30

Re : La muse et le vampire ...

#13 22-07-2011 16:39:03

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