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Curieuse

Invité

Lax-Milgram

Bonjour,
je voudrai montrer que l'edp suivante admet une unique solution:
[tex]-\Delta c+\overrightarrow{u}.\nabla c=0[/tex]
avec des conditions au bord mixtes (Dirichlet et Neumann). Pour cela, j'ai appliqué le théorème de Lax-Milgram, avec
[tex]a\left(c,v\right)=\int^{}_{\Omega }\nabla c.\nabla v\,dx-\int^{}_{\Omega }v\,\overrightarrow{u}.\nabla c[/tex]
et [tex]L\left(v\right)=\int^{}_{\Gamma i}\tau v[/tex]
et je trouve une difficulté au niveau de la coercivité. En effet je n'arrive pas à minorer la dérivée de premier ordre. Est ce que quelqu'un a une idée?
Merci d'avance.

Roro

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Re : Lax-Milgram

Bonsoir,

Il me semble normal que tu éprouves des difficultés pour montrer la coercivité puisque dans le cas général, ta forme bilinéaire n'est pas coercive ! (elle doit l'être si la divergence de u n'est pas trop négative, en prenant les condition de Dirichlet homogène).
A propos des conditions au bord, je ne comprend pas très bien ce que tu entends par "conditions au bord mixtes (Dirichlet et Neumann)" parce que c'est un point essentiel dans ce genre de problème.

Une autre piste possible, dans le cas où u est un gradient, tu dois pouvoir ré-écrire ton équation sous la forme "classique" [tex]div(a \nabla c) = 0[/tex]...

Roro.

Dernière modification par Roro (17-06-2011 21:38:53)

Curieuse

Invité

Re : Lax-Milgram

Bonjour Roro,
Voici mon problème:
[tex]\left\{
    \begin{array}{rccl}
            div(-D \nabla C+C \vec{u})&=&0 & \mbox{dans $\Omega$}\\
            (-D \nabla C+C \vec{u}).\vec{n}&=&\tau    & \mbox{sur $\Gamma_{i}$}\\
            C&=&\varphi & \mbox{sur $\Gamma_{m}$}\\
    \end{array}
    \right.[/tex]
avec D une matrice diagonale (peut être l'identité) ses coefficients d1 et d2 sont tous les deux positifs mais ne s'annulant pas et [tex]\vec{u}[/tex]  un vecteur constant de composantes constantes u1 et u2 positives ne s'annulant pas en même temps. La solution C si elle existe elle serait dans [tex]K=\left\{ v\in H^{1} \ v=\varphi & \mbox{ sur} \Gamma_{m}\right\}[/tex] . J'applique donc le théorème de Stampacchia et non celui de Lax Milgram. Cependant j'ai toujours besoin de démontrer la coercivité dans [tex]H^{1}[/tex] . On a:
[tex]a(C,C)=\int_{\Omega} D \nabla C. \nabla C dx- \int_{\Omega} C \vec{u}.\nabla C dx[/tex]
La première intégrale ne pose pas de problème, car la matrice D est definie positive.  Cependant la deuxième intégrale est plus délicate. Je ne vois pas quelle inégalité pourrai-je appliquer pour la minorer?
merci.

Curieuse

Invité

Re : Lax-Milgram

Bonjour,
Une réctification dans le message précédent, les composantes u1 et u2 sont constantes mais quelconques et ne s'annulant pas simultanément.

Curieuse

Invité

Re : Lax-Milgram

Merci pour ta réponse mais je ne comprends pas la remarque :

(elle doit l'être si la divergence de u n'est pas trop négative, en prenant les condition de Dirichlet homogène).

Roro.

Pour les conditions de Dirichlet homogènes, on peut toujours s'y ramener moyennant un relèvement.

Curieuse

Invité

Re : Lax-Milgram

Bonsoir,
Une autre piste possible, dans le cas où u est un gradient, tu dois pouvoir ré-écrire ton équation sous la forme "classique" [tex]div(a \nabla c) = 0[/tex]...

Roro.

Comme  [tex] \vect{u} [/tex] a des composantes constantes je peux l'écrire comme un gradient  [tex]\vect{u} \nabla w[/tex] avec  [tex]w = u_{1} x+ u_{2} y [/tex] par exemple. la forme bilinéaire s'écrit:
[tex]a(u,v) =\int_{\Omega} (D\nabla v-v\nabla w).\nabla C[/tex]
Et là je ne peux pas appliquer la formule de Green directement pour retrouver la forme classique!!!

Roro

Membre expert

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Re : Lax-Milgram

Bonsoir,

C'est issu d'un truc classique pour ce genre de calcul. En utilisant une intégration par parties, et les conditions de Dirichlet homogène :
[tex]A = - \int_\Omega C u \cdot \nabla C
= \int_\Omega C \mathrm{div}(C u) - \int_{\partial \Omega} C^2 u \cdot n
= -A + \int_\Omega C^2\mathrm{div}(u).[/tex]
On en déduit que
[tex]A = \frac{1}{2} \int_\Omega C^2\mathrm{div}(u).[/tex]

Evidemment, dans ton cas (où il semble que [tex]u[/tex] est constant), la divergence est nulle... mais tout ça ne marche que si tu as des conditions de Dirichlet partout... sinon il faut sans doute réfléchir un peu plus !

Je vois que tu as posté un mail pendant que j'écris celui-çi...
Effectivement, le fait que [tex]u=\nabla w[/tex] peut te permettre d'écrire ton équation (je le fais dans le cas où [tex]D=Id[/tex] sinon, je ne sais pas si on peut faire directement... à voir) en remarquant que d'une manière générale
[tex]-div(a \nabla C) = -a \Delta C - \nabla a \cdot \nabla C[/tex]
et donc que (lorsque [tex]a[/tex] ne s'annule pas)
[tex]-div(a \nabla C) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad -\Delta C - \nabla (\ln a) \cdot \nabla C = 0.[/tex]
Autrement dit, ton équation s'écrit aussi [tex]-div(a \nabla C) = 0[/tex] avec [tex]a=\mathrm e^{-w}[/tex]...
 

Roro.