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coralie

Invité

probas

bonjour,
je souhaiterais savoir si mes résultats sont bon et aussi avoir quelque indication
voici le sujet :

Climat oblige, les gendarmes sont postes a l'intersection de la D1091 et de la D211,
a Bourg d'Oisans. Ils contr^olent que les automobilistes qui montent vers l'Alpe d'Huez ont prevu
tous les equipements necessaires pour leur vehicule (chaines). Les gendarmes savent par habitude
qu'une proportion p = 0:15 des automobilistes ne possede pas les equipements obligatoires.
a) Un matin, en une heure, les gendarmes vont arreter 200 automobilistes. Le nombre N des
automobilistes non equipes parmi les 200 est aleatoire. Quelle est sa loi ? Par quelle loi peut-on
l'approcher ? Calculer la probabilite pour que ce nombre soit compris entre 25 et 32.
Cette situation donne lieu a un petit concours entre deux gendarmes. Ils contr^olent chacun, en
m^eme temps, un vehicule sur deux. Ainsi, dans la queue des vehicules qui se forme au depart de la
D211, la premiere voiture est controlee par Yves et la seconde par Jacques, puis la troisieme par
Yves et la quatrieme par Jacques et ainsi de suite. Le premier qui detecte un fautif (automobile
sans cha^nes) se fait orir un vin chaud par son collegue.
b) Quelle est la loi du nombre X d'automobiles qui seront controlees par Yves jusqu'au premier
fautif ? Quelle est son esperance et sa variance ?
c) On note Y le nombre total de voitures controlees par Jacques pour attraper un fautif. On
observe que X et Y suivent la m^eme loi. Les evenements X = k et Y = k sont-ils independants ?
incompatibles ? Calculer P[min(X; Y ) = k]. Calculer cette quantite pour k = 1; :::; 5.
d) Quelle est la probabilite pour que les deux gendarmes attrapent un fautif en m^eme temps ?
Quelle est la probabilite pour que ce soit Yves qui doive payer la tournee de vin chaud ?

a)lois binomiale....on peut l'approcher par la lois de poisson et aprés je bloque je sais qu'il faut calculer [tex]p\left[25\leq N\leq 35] \right][/tex] mais je bloque même en me servant de la definition de la loi de poisson

b)loi geometrique, espererance=1/2 variance=
c)les element sont indépendants mais je ne sais pas jutifier
et voila ^^ je suis bloquer
merci de votre aide
cordialement
bissssss

freddy

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Re : probas

Salut,

bon, ce que tu as fait est très maigre et il me semble que le cours de proba n'est pas bien compris.

pour le a), oui, une loi binômiale de paramètre p=0,15 et n= 200 qu'on approximera par une loi normale ! (et pas de Poisson ... )

Pour le b), oui pour la loi géométrique, mais non pour l'espérance => revois ton cours !

Pour le c), comment peux tu affirmer l'indépendance si tu ne sais pas comment le montrer ?

Souviens toi : si X et Y deux va indépendantes alors P(X et Y)=P(X)*P(Y) par définition probabiliste de l'indépendance !

le d) découle du c), donc à suivre ! je passerai ce soir pour voir ce que tu as fait. Au travail !

coralie

Invité

Re : probas

dans la question a) lois normale centré reduite c'est bien sa ??? mais pourquoi
est-ce parceque p est supérieur a 0.10 ???Comment faire pour trouver le nombre?

b) pour la lois geometrique l'esperence  c'est pourtant bien la moyenne ? enfin c'est 1/p ici p=0.15 dnc 1/0.15

c) X et Y suivent la même lois donc c'est bien independant

freddy

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Re : probas

Salut,

Loi normale car toutes les conditions sont remplies pour que ce soit ça : revois ton cours sur les approximations des lois discrètes vers la LN.

b) l'espérance de la géométrique =1/p = 1/0,15 = 6.67 !!!

c) suivre la même loi ne garantit pas l'indépendance : il faut que tu fasses le calcul de P (X et Y) et celui du produit P(X)P(Y).

Tu verras que c'est la même chose => indépendance en probabilité.

coralie

Invité

Re : probas

d'accord mais pour l'espoerence alors je vois toujours pas

coralie,

Invité

Re : probas

De plus, une v.a X suit une lois norma N(m,a)
si sa densité f est donnée par  [tex]f\left(x\right)=\frac{1}{a\sqrt{2\pi }}\exp \left(-\,\frac{-{\left(x-m\right)}^{2}}{2{a}^{2 }}\right)[/tex]
on est bien d'accord?

freddy

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Re : probas

Une v.a X suit une loi normale N(m,a)
si sa densité f est donnée par  [tex]f\left(x\right)=\frac{1}{a\sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{{\left(x-m\right)}^{2}}{2{a}^{2 }}\right)[/tex]

Dernière modification par freddy (18-06-2011 21:26:29)

joel

Invité

Re : probas

bonjour ,
en voyant ceci j'aimerais savoir comment tracer l'allure d'une densité x
ex : x une v.a de lois normale(2.3)
j'ai trouvé l'esperence qui est 2 et la variance 9 mais je ne sais pas tracer 
merci

joel

Invité

Re : probas

on me demander aussi de calculer

[tex]p\left[x<3\right]=0.5+0.99865=1.49865    et\,aussi\,p\left[x>-1\right]=0.5-0.84134=-0 .34134 est\,bon??,[/tex]

coralie

Invité

Re : probas

Re,
je reviens a mon exercice

a) j'ai compris pour la loi binominal mais je ne sais ps comment faire pour faire une approximation
car je suis d'accord pour la loi normal N (m, [tex]\partial[/tex] )
j'ai m= 30 et  [tex]\partial =5.04[/tex]
et pour le calcul j'ai  [tex]\mathcal{P} \left(0.49\right)-\mathcal{P} \left(-1.09 \right)[/tex]
c'est bien sa?

freddy

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Re : probas

Re,

presque !

C'est [tex]F(0,3961)-F(-0,9901)[/tex] puisque on a [tex]\frac{32-30}{\sqrt{0,15\times 0,85\times 200}}=0,3961[/tex] et [tex]\frac{25-30}{\sqrt{0,15\times 0,85\times 200}}=-0,9901[/tex]

coralie

Invité

Re : probas

je n'est pas du tout compris

freddy

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Re : probas

Re,

et bien, j'ai centré et réduit les valeurs 32 et 25 pour pouvoir utiliser la tabulation de la loi LN(0,1).

pour éviter certaines erreurs de calculs, on retient toutes les valeurs de calcul, notamment l'écart type.

coralie

Invité

Re : probas

re,
avez vous deja la bonne loi N(30,5.04)
5.04 car j'ai fait  [tex]\sqrt{30\left(1-0.15\right)}[/tex] donc j'ai trouvé la loi normal N(30,5.04)
ici on n'est d'accord je crois
donc aprés
je fais sa  [tex]p\left[25\leq X\leq 32\right]=F\left(\frac{b+0.5-np}{\sqrt{np\left(1-p\right)}}\right)-F\left(\frac{a-0.5-np}{\sqrt{np\left(1-p)\right)}}= [tex]F\left(\frac{32+0.5-30}{5.04}\right)-F\left(\frac{25-0.5-30}{5.04}\right)=F\left(0.496\right)-F\left(-1.09 \right)[/tex]   

voila mon explication pouvez me donner l'explication que ce n'est pas ceci
et me donné la forme generale pour calculer une proba p entre deux valeur car je ne comprend psa votre calcule

coralie

Invité

Re : probas

je pense avoir compris enfait mon calcul est une approximation . c'est bien ca?
du coup une fois qu'on a la lois normal on fait toujours a l'aide de la formule  [tex]p\left[a\leq X\leq b\right]=F\left(b-m/\partial \right)-F\left(a-m/\partial \right)[/tex]

merci
si c'est bon on peu passer a la question b )?

freddy

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Re : probas

Re,

pourquoi tu ajoutes 0,5 à b ?

coralie

Invité

Re : probas

bah j'ai une formule comme sa pour l'approximation c'est pour sa je ne sai jamais si il faut faire comme vous ou si il faut faire comme sa .si je sais pas il faut mieux que je fasse comme vous ?

freddy

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Re : probas

OK d'ac,

fais comme ta formule te dit de faire.

freddy

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Re : probas

Salut !

Finissons ! La probabilité recherchée en a) est de l'ordre de 50,08 %

Pour le c), On sait que [tex]\Pr(X=k)=(1-p)^k\times p[/tex] et idem pour Y.

Soit Z le nombre de véhicules contrôlées avant le premier fautif. Z suit la même loi que X et Y.

La probabilité de deux fautifs consécutifs après 2k contrôles infructueux est égale à

[tex]\Pr(X=k\;\text{et}\;Y=k)=(1-p)^{2k}\times p^2[/tex]

[tex](1-p)^{2k}\times p^2=\left((1-p)^{k}\times p\right)^2=\Pr(X=k)\times Pr(Y=k)[/tex]

Donc  [tex]\Pr(X=k\;\text{et}\;Y=k)=\Pr(X=k)\times Pr(Y=k)[/tex] ce qui montre l'indépendance en probabilité.

Les deux événements ne sont pas incompatibles, sinon la proba de leur intersection eût été nulle.

(...)

Dernière modification par freddy (11-07-2011 09:57:28)

freddy

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Re : probas

(...)

Loi du min(X,Y). La probabilité de l'événement "Min(X,Y)=k" est celle des événement disjoint suivant:

"X=k & Y > k" ou bien "X > k & Y = k" ou bien "X = k & Y = k". Les travaux précédents permettent d'aller rapidement au but.

[tex]\Pr(X = k, Y > k) =\Pr(X=k)\times \Pr(Y>k)=(1-p)^k\times p \sum_{i=k+1}^{+\infty} \left((1-p)^i\times p\right)=(1-p)^{2k+1}\times p [/tex]

Comme on peut symétriser X et Y, on a alors :

[tex]\Pr\left(Min(X,Y)=k \right) = 2\times (1-p)^{2k+1}\times p+ \left((1-p)^k\times p\right)^2[/tex]

d) la probabilité d'attraper un fautif en même temps est donnée par :

[tex]\Pr(X=Y)=\sum_{k=0}^{+\infty} \Pr(X=k, Y=k) =p^2\times \left(1+(1-p)+(1-p)^2+ \cdots \right)= \frac{p}{2-p}[/tex]

e) enfin, la probabilité que ce soit Yves qui paie la tournée en premier est égale à la probabilité que ce soit Jacques qui contrôle le premier un véhicule défaillant. Ce qui revient à chercher la probabilité que la VA Y soit inférieure à X. On a :

[tex]\Pr( X > Y) = \sum_{k=0}^{+\infty}\Pr(X > k, Y = k) = (1-p) p \times\sum_{k=0}^{+\infty}\left((1-p)^2\right)^k=\frac{1-p}{2-p} [/tex].

On vérifie que c'est exact en calculant la probabilité que ce soit Yves, ou Jacques, qui paie en premier le vin chaud. En symétrisant X et Y, on voit que cette probabilité est égale [tex]1-\Pr(X=Y) = 2\times \frac{1-p}{2-p}[/tex].

Joli sujet !

Dernière modification par freddy (11-07-2011 11:56:40)